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　　在傳統的設計中，希爾伯特變換器可由一個FIR濾波器和一個時延模塊實現，也可由一組濾波器對實現，而實現FIR型希爾伯特變換器的一個簡單方法就是對原型低通濾波器作正弦/余弦變換。但是，無論哪種方法都需要通過計算對低通濾波器的系數進行轉換，其計算繁瑣且存在一定的誤差。Matlab作為濾波器設計的基礎軟件，不僅可以快速有效地實現希爾伯特變換器的設計、分析仿真和最優化，而且可以直接計算出希爾伯特變換器的系數，加之Matlab具有強大的接口功能，為后續的設計提供了方便。

　　1 希爾伯特變換器的基本原理

　　連續時間信號x(t)的希爾伯特變換

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　　定義為：

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　　由式(1)可得單位沖擊響應h(t)=1/(πt)，由于jh(t)=j/(πt)的傅里葉變換是符號函數sgn(w)，所以希爾伯特變換器的頻率特性為：

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　　信號x(t)的希爾伯特變換可以看成是信號x(t)通過一個幅度為1的全通濾波器輸出，信號通過希爾伯特變換器后，其負頻率成分作+90°的相移，而正頻率成分作-90°的相移。

　　這類濾波器要求濾波器的零頻響應為0，若濾波器階數為偶數，則還要求Nyquist頻率(歸一化頻率為1)處的響應為0。即如果濾波器的階數為偶數，那么增益在頻率為0 Hz和fs/2處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個帶通濾波器。如果濾波器的階數為奇數，那么增益在頻率為0 Hz處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個高通濾波器。

　　2 希爾伯特變換器的Matlab設計

　　2.1 直接程序法

　　Matlab信號處理工具箱提供了firls函數和remez函數，它們的調用格式語法規則相同，只是優化算法不同，函數firls利用最小二乘法使期望的頻率響應和實際的頻率響應間的誤差最小;函數remez實現Park-McClellan算法，這種算法利用remez交換算法和Che-byshev近似理論設計濾波器，使實際頻率響應擬合期望頻率響應達到最優。

　　函數調用格式為b=remez(n，f，m，‘h’)或b=firIs(n，f，m，‘h’)，其中，n為濾波器的階數;f為濾波器期望頻率特性的頻率向量標準化頻率，取值0～1，是遞增向量，允許定義重復頻點;m為濾波器期望頻率特性的幅值向量，向量m和f必須同長度且為偶數;b為函數返回的濾波器系數，長度為n+1，本文將采用remez函數法。

　　下面設計一個希爾伯特變換器，要求采樣頻率為2 000 Hz，通頻帶為50～950 Hz，濾波器階數為60階。實現程序如下：

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　　設計的希爾伯特變換器的特性如圖1，圖2所示。

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　　從仿真結果可以觀察到增益在0 Hz和1 000 Hz處降為零，即為帶通濾波器;同時具有嚴格的線性相位特性，符合設計要求。在設計中如果特性不滿足要求，原有的參數必須作相應的調整，在程序中只需對參數進行重新設定，就可以得到所需要的希爾伯特變換器。

　　2.2 利用FDATool工具設計法

　　FDATool是Matlab信號處理工具箱專用的濾波器設計分析工具，操作簡單、靈活，可以采用多種方法設計不同的濾波器，同時可以實現濾波器的最小階數設計。在Matlab命令窗口輸入FDATool后回車就會彈出FDATool界面。

　　根據2.1中的設計實例，首先在Filter Type欄中選擇Hilbert Transformer，在Design Method欄中選擇Equiripple法，在filter order中選擇60，在Frequencyand Magnitude Specifications中設置F=[50 950];M=[1 1];Fs=2 000，最后點擊Design Filter，通過菜單選項Analysis可以在特性顯示區看到濾波器的各種特性，如圖3～圖5所示。

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　　在幅頻特性和相頻特性滿足要求的同時，由圖3可知單位脈沖響應為奇對稱，即h(n)=-h(N-n-1)，也符合希爾伯特變換器的特性。若設計不滿足要求，則可以直接在FDATool界面中改變參數，在設計滿足要求后，還可以把希爾伯特變換器的系數導出為Matlab變量，文本文件或C語言頭文件等，這為后續的設計提供方便。

　　3 希爾伯特變換器的效果驗證

　　3.1 直接程序驗證法

　　對于所設計的希爾伯特變換器，頻率為10 Hz的振動作為輸入信號，采樣頻率為100 Hz，驗證對應的數據點是否滿足相位相差90°的特點，主要實現程序如下：

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　　由圖6可知，該希爾伯特變換器對阻帶和通帶波紋進行了控制，輸出信號的相位比輸入信號的相位前移了90°，符合希爾伯特變換的性質。如若把輸入信號的頻率變為-10Hz，則輸出信號較之輸入信號會后移90°，如圖7所示。通過驗證可知，該希爾伯特變換器實現了π/2移相。

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　　3.2 Simulink仿真法

　　利用Matlab提供的Simulink工具對該希爾伯特變換器進行仿真，輸入信號以3.1節中的要求為例，仿真系統如圖8所示，在建立仿真系統時，注意對所選擇的模塊進行相應的參數設計。仿真結果如圖9，圖10所示。

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　　4 結語

　　在Matlab平臺上，采用直接程序法和FDATool工具法均可以快捷有效地完成希爾伯特變換器的設計，可以隨時對比設計要求和希爾伯特變換器的特性，以使設計達到最優化。由于Matlab具有強大的接口功能，設計的結果可以很方便地移植到DSP，FPGA等器件中。在實際使用中，只需按要求修改參數，即可實現不同的希爾伯特變換器，實用性較強。