小波變換以其多分辨率分析的特性，在時(shí)頻域內(nèi)良好的表征信號(hào)的能力以及大小固定形狀可變的窗口等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于圖像去噪中，并得到了很好的去噪效果。而小波閾值去噪法是小波分析法在圖像去噪眾多應(yīng)用中最常用的一種方法，利用閾值處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波反變換重構(gòu)出去噪后的結(jié)果圖像。在小波閾值去噪法中的兩個(gè)重要的因素—閾值選取方式和閾值函數(shù)，直接決定圖像去噪的效果，所以要針對(duì)噪聲和圖像選取合適的閾值函數(shù)和最佳閾值，才能最大程度去除圖像噪聲。

本文提出了新的閾值函數(shù)，這一函數(shù)既滿足函數(shù)的連續(xù)性，又解決了閾值函數(shù)恒定偏差問(wèn)題。

1、小波閾值去噪原理

小波閾值去噪方法中噪聲通常處于高頻，利用這一特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)高頻部分進(jìn)行相應(yīng)閾值化處理，然后進(jìn)行重構(gòu)，這樣就達(dá)到了去除噪聲的目的。

假設(shè)一幅圖像被高斯噪聲污染的表示形式如下：

為含噪聲圖像;nj，k為高斯白噪聲，服從正態(tài)分布N（0，δ^2）正態(tài)分布。

小波閾值方法通過(guò)以下3步驟進(jìn)行實(shí)現(xiàn)：

1）對(duì)fj，k作小波變換，得到小波系數(shù)wj，k;

2）通過(guò)對(duì)wj，k進(jìn)行閾值化處理，得出小波估計(jì)系數(shù)w^j，k;

3）利用w^j，k進(jìn)行小波系數(shù)重新構(gòu)造得到去噪后的圖像f^j，k。

常用的閾值求法有：斯坦無(wú)偏似然估計(jì)準(zhǔn)則、固定閾值準(zhǔn)則、啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則和極大極小原理準(zhǔn)則。本文采用固定閾值準(zhǔn)則固定閾值定義如下：

其中：M×N為圖像的大小。

2、小波閾值函數(shù)

2．1、常見(jiàn)的小波閾值函數(shù)

小波閾值去噪法的另一種稱(chēng)呼是閾值函數(shù)，也就是利用閾值函數(shù)來(lái)獲得閾值，閾值函數(shù)應(yīng)用最多的就是Donoho等提出的閾值的方法，而且Donoho等也證明了利用小波閾值去噪比其他經(jīng)典的去噪方法優(yōu)越。隨后人們?cè)诖嘶A(chǔ)上提出了改進(jìn)的閾值函數(shù)，如硬軟折中閾值函數(shù)等。硬、軟閾值函數(shù)分別如式（3）（4）。

硬閾值函數(shù)定義為：

2．2、改進(jìn)的小波閾值函數(shù)

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點(diǎn)。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問(wèn)題，但存在間斷點(diǎn)±λ，在圖像重建時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些附加震蕩，而且比較容易出現(xiàn)Pseudo-Gibbs現(xiàn)象等視覺(jué)失真。同樣，式（4）在±λ處連續(xù)性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的誤差，這樣會(huì)使圖像的高頻信息產(chǎn)生丟失等失真的現(xiàn)象，且式（4）存在高階求導(dǎo)的困難，不利于進(jìn)一步用數(shù)學(xué)工具對(duì)它處理。硬軟折中閾值函數(shù)對(duì)式（3）（4）進(jìn)行了改進(jìn)，但依然存在恒定偏差問(wèn)題。

為了更好地解決以上方法所帶來(lái)的問(wèn)題，文獻(xiàn)分別提出了如下的改進(jìn)的閾值函數(shù)：

式（5）很好地解決了含噪圖像的小波系數(shù)與估計(jì)小波系數(shù)恒等的誤差問(wèn)題，但它沒(méi)有調(diào)節(jié)因子，顯然不夠靈活，而且連續(xù)性差;式（6）雖然解決了連續(xù)性問(wèn)題，但含噪圖像的小波系數(shù)與估計(jì)小波系數(shù)的恒定偏差還是沒(méi)有得到很好的解決。為了能夠有效解決上述問(wèn)題，本文提出了新的函數(shù)：

圖1的橫坐標(biāo)為對(duì)fj，k經(jīng)過(guò)小波變換得到的原始的小波系數(shù);縱坐標(biāo)為對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理后的得到的估計(jì)的小波系數(shù)。λ為門(mén)限值;根據(jù)式（7）的函數(shù)進(jìn)行繪圖。圖1中，λ=5，原始小波系數(shù)取值范圍為－20～20。

圖1 ? α=1，n=3時(shí)改進(jìn)閾值函數(shù)

2．2．1、改進(jìn)的閾值函數(shù)分析

從數(shù)學(xué)的角度對(duì)式（7）進(jìn)行如下分析。

1）函數(shù)的連續(xù)性。

綜上所述：新閾值函數(shù)在±λ處連續(xù)。

2）函數(shù)的漸近性

綜上所述：函數(shù)式（7）是以w^j，k=wj，k為漸近線的，也就是說(shuō)，新閾值函數(shù)以w^j，k=wj，k為漸近線。

3）閾值函數(shù)的偏差性。

隨著wj，k→∞，w^j，k逐漸接近wj，k，從而克服了w^j，k與wj，k之間具有偏差的問(wèn)題。

4）函數(shù)的高階可導(dǎo)性。

當(dāng)|wj，k|≥λ時(shí)，新閾值函數(shù)滿足高階可導(dǎo)，所以便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理。

5）閾值可變因子α與n影響分析。

當(dāng)α=0，n=1時(shí)，新閾值函數(shù)為式（5）;當(dāng)α=0，n→0時(shí)，新閾值函數(shù)為軟閾值函數(shù)，當(dāng)n→∞時(shí)新閾值函數(shù)為硬閾值函數(shù);

當(dāng)α→∞時(shí)新閾值函數(shù)就變成為硬閾值函數(shù);因此與式（5）和式（6）相比，新閾值函數(shù)不僅具有整體連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn)，而且根據(jù)實(shí)際應(yīng)用調(diào)節(jié)非常靈活。

2．2．2、改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪算法步驟

第1步選擇合適的小波基函數(shù)，小波基一般根據(jù)具體噪聲圖像的特點(diǎn)進(jìn)行選擇。然后對(duì)帶噪聲圖像式（1）中fj，k進(jìn)行多層次正交小波變換，得到一組小波分解系數(shù)wj，k，其中：wj，1∈{LHj}（j層水平方向小波系數(shù)）;wj，2∈{HLj}（j層垂直方向小波系數(shù)）;wj，3∈{HHj}（j層對(duì)角線方向小波系數(shù)）;（j=1，2，…，l，l表示小波分解的層數(shù)）。

第2步對(duì)式（1）中噪聲nj，k方差δ進(jìn)行估計(jì)，噪聲方差δ=median（w1，3/c），其中c是常數(shù)，一般取0．6745。然后在求出δ的基礎(chǔ)上，根據(jù)式（2）求出門(mén)限閾值λ的值。

第3步以λ為門(mén)限，分別根據(jù)式（7）對(duì)LHj，HLj，HHj系數(shù)進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)的小波系數(shù)w^j，k。

第4步根據(jù)所得w^j，k小波系數(shù)以及其他沒(méi)有進(jìn)行閾值處理的低頻部分的小波系數(shù)利用小波基函數(shù)進(jìn)行小波重新構(gòu)造，從而得到去噪后的圖像f^j，k即f^j，k就是所要求的圖像。

3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了證明改進(jìn)閾值函數(shù)去噪的有效性，使用Matlab軟件對(duì)加0.01的高斯白噪的Lena和Cameraman圖像分別用經(jīng)典的軟、硬閾值函數(shù)、硬軟折中閾值函數(shù)以及改進(jìn)的閾值函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。本文基于提升圖像的對(duì)稱(chēng)性，視覺(jué)好，更適合于圖像處理，因而選擇coif4基函數(shù)，進(jìn)行四層分解與重構(gòu)，并進(jìn)行閾值去噪。去噪效果如圖2所示。

圖2 ?對(duì)Lena圖像不同方法降噪結(jié)果

圖3 ?對(duì)Cameraman圖像不同方法降噪結(jié)果

為了進(jìn)一步衡量本文提出新閾值函數(shù)的性能，用均方差（MeanSquaredError，MSE）與峰值信噪比（PeakSignal-toNoiseＲatio，PSNＲ）對(duì)去噪后效果析。MSE的值越小表示圖像的質(zhì)量越好;PSNＲ的值越大圖像的質(zhì)量越好。它們分別定義為：

其中：M×N為圖像大小，gj，k是無(wú)噪圖像，f^j，k為去噪得到的圖像。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明：基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波去噪比基于軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、硬軟折中閾值函數(shù)、文獻(xiàn)閾值函數(shù)、閾值函數(shù)得到較大的峰值信噪比和較小的均方誤差。實(shí)驗(yàn)具體的結(jié)果如表1、表2所示。由圖2、圖3可以看出改進(jìn)閾值函數(shù)的小波去噪效果較好。

4、結(jié)語(yǔ)

本文在分析了Dohono軟硬閾值、硬軟折中閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)后，提出了對(duì)閾值函數(shù)的改進(jìn)算法。這一閾值函數(shù)含有兩個(gè)調(diào)節(jié)閾值因子α和n，通過(guò)改變這兩個(gè)參數(shù)，達(dá)到最佳小波系數(shù)閾值的估計(jì)，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，改進(jìn)的閾值函數(shù)能夠較好地去除圖像噪聲，且可以保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)信息。