頻率響應法--奈奎斯特穩定判據

頻率響應法--奈奎斯特穩定判據

前面我們從代數角度出發討論了控制系統穩定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩定判據。本節介紹判別系統穩定性的另一種判據――奈奎斯特穩定判據。該判據是根據開環頻率特性來判定閉環系統的穩定性。同時，它還能反映系統的相對穩定的程度，對于不穩定的系統，判據與勞斯穩定判據一樣，還能確切回答閉環系統有多少個不穩定的特征根。

對于圖5－34所示的反饋控制系統，閉環傳遞函數為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

(5-39)

式中，、、…、是的零點，也是閉環特征方程式的根；、、…、是的極點，也是開環傳遞函數的極點。因此根據前述閉環系統穩定的充分必要條件，要使閉環系統穩定，特征函數的全部零點都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于是s的有理分式，則由復變函數的理論知道，除了在s平面上的有限個奇點外，它總是解析的，即為單值、連續的正則函數。因而對于s平面上的每一點，在平面上必有唯一的一個映射點與之相對應。同理，對s平面上任意一條不通過的極點和零點的閉合曲線，在平面上必有唯一的一條閉合曲線與之相對應，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線按順時針方向運動，則其在平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針，也可能是逆時針，它完全取決于復變函數本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線的具體形狀，而是它是否包圍平面的坐標原點以及圍繞原點的方向和圈數，因為它與系統的穩定性有著密切的關系。

圖5－35　s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線

由式（5-41）可知，復變函數的相角為

(5-42)

假設s平面上的閉合曲線以順時針方向圍繞的一個零點－，的其余零點和極點均位于閉合曲線之外。當點s沿著閉合曲線走了一周時，向量的相角變化了，其余各向量的相角變化都為。這表示在平面上的映射曲線按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉一周，如圖5－36所示。由此推論，若s平面上的閉合曲線以順時針方向包圍的z個零點，則在平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉z周。

如果s平面上的閉合曲線按順時針方向圍繞著的一個極點旋轉一周，則向量的相角變化了。由式（5－42）可知，的相角變化了。這表示平面上的映射曲線按逆時針方向圍繞其坐標原點一周。由此推廣到一般，若s平面上的閉合曲線按順時針方向圍繞著的p個極點旋轉一周，則其在平面上的映射曲線按逆時針方向圍繞著坐標原點旋轉p周。

綜上所述，可得到如下的輻角原理。

輻角原理　　設除了有限個奇點外，是一個解析函數。如果s平面上的閉合曲線以順時針方向包圍了的Z個零點和P個極點，且此曲線不通過的任何極點和零點，則其在平面上的映射曲線將圍繞著坐標原點旋轉N周，其中。若，表示曲線以順時針方向圍繞；若，則表示曲線以逆時針方向圍繞。

5.4.2 奈奎斯特穩定判據

圖5－37　右半平面的封閉曲線

如果閉環系統是穩定的，則其特征方程式的根，即所有的零點均位于s的左半平面。為了判別系統的穩定性，檢驗是否有零點在s的右半平面上即可。為此，在s平面上所取的閉合曲線應包含s的整個右半平面，如圖5-37所示。這樣，如果有零點或極點在s的右半平面上，則它們必被此曲線所包圍。這一閉合曲線稱為奈奎斯特軌線，它是由軸表示的部分和半徑為無窮大的半圓部分組成。即s按順時針方向沿著由運動到，爾后沿著半徑為無窮大的半圓由運動到，其中。

由于中的，當s沿著奈氏軌線運動時，有

＝常數

這說明當s沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數始終是一常數。由此，平面上的映射曲線是否包圍坐標原點，只取決于奈氏軌線中部分的映射，即由軸的映射曲線來表征。

設在軸上不存在的極點和零點，則當s沿著軸由運動到時，在平面上的映射曲線為

(5-43)

設閉合曲線以順時針方向包圍了的z個零點和p個極點，由輻角原理可知，在平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線對其坐標原點的圍繞相當于開環頻率特征曲線對GH平面上的（－1，j0）點的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線映射在這兩個平面上的位置。

通過上述分析可知，閉環系統的穩定性可通過其開環頻率響應曲線對（－1，j0）點的包圍與否來判別，這就是下述的奈奎斯特穩定判據。

奈奎斯特穩定判據：

(1) 如果開環系統是穩定的，即P＝0，則閉環系統穩定的充要條件是曲線不包圍（－1，j0）點。

(2) 如果開環系統不穩定，且已知有P個開環極點在s的右半平面，則閉環系統穩定的充要條件是曲線按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉P周。

綜上，應用奈氏判據判別閉環系統的穩定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開環系統是否穩定，若不穩定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線。具體作圖時可先畫出從0到的一段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出從0到的另一段曲線，從而得到完整的奈氏曲線。

（3）計算奈氏曲線對點（－1，j0）按順時針方向的包圍圈數N。

（4）根據輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環系統穩定；反之，，表示該閉環系統不穩定。Z的數值反映了閉環特征方程式的根在s右半平面上的個數。

例 5－5 試用奈氏判據判別閉環系統的穩定性。

系統的開環傳遞函數為

試用奈氏判據判別閉環系統的穩定性。

解：當ω由變化時，曲線如圖5－39所示。因為的開環極點為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒有任何極點，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環系統是穩定的。

圖5－39

5.4.3 奈奎斯特穩定性判據的進一步說明

1、開環極點位于虛軸的情況

如果在虛軸上存在極點，那么就不能直接用圖5－37所示的奈氏軌線，因為輻角原理只適用于奈氏軌線不通過的奇點。為此，可對圖5－37所示的奈氏軌線作些修改，使其沿著半徑為的半圓繞過虛軸上的所有極點。假設開環系統在坐標原點處有其極點，則對應的奈氏途徑要修改為如圖5－40所示。比較圖5－40與圖5－37可以發現，它們的區別在于圖5－40中多了一個半徑為無窮小的半圓部分，其余兩者完全相同。因此，只需要研究圖5－40中的部分在GH平面上的映射。

設系統的開環傳遞函數

(5-45)

在部分上，令，其中，代入上式得

(5-46)

當s按逆時針方向沿著由點a移動到c時，由式（5－46）可求得其在GH平面上的映射曲線：

對于的I型系統，部分在GH平面上的映射曲線為一個半徑為無窮大的半圓，如圖5－41a所示。圖中點、和分別為半圓上點a、b和c的映射點。

對于的Ⅱ型系統，部分在GH平面上的映射曲線是一個半徑為無窮大的半圓，如圖5－41b所示。

把上述部分在GH平面上的映射曲線和的奈氏曲線在和處相連接，就組成了一條封閉曲線。此時，又可應用奈奎斯特穩定判據了。

例5－6　試判別該系統的穩定性。

反饋控制系統開環傳函數為

試判別該系統的穩定性。

解：由于該系統為I型系統，它在坐標原點處有一個開環極點，因而在s上所取的奈氏軌線應如圖5－40所示。該圖的部分在GH平面上的映射曲線為一半徑為無窮大的半圓，若將它與圖5－42的奈氏曲線相連接，則有N＝2，而系統的P＝0，因而Z＝2，即閉環系統是不穩定的，且有兩個閉環極點位于s的右半平面。

例5－7　試分析時間常數的相對大小對系統穩定性的影響并畫出它們所對應的奈氏圖?！?/P>

已知系統的開環傳遞函數為

試分析時間常數和的相對大小對系統穩定性的影響，并畫出它們所對應的奈氏圖。

解　由開環傳遞函數得

根據以上兩式，作出在，和三種情況下的曲線，如圖5-43所示。當時，曲線不包圍（－1，j0）點，因而閉環系統穩定的。當時，曲線通過（－1，j0）點，說明閉環極點位于軸上，相應的系統為不穩定的。當時，曲線以順時針方向包圍（-1，j0）點旋轉兩周，這意味著有兩個閉環極點位于s右半平面上，該閉環系統是不穩定的。

2、利用奈氏判據確定系統的參數穩定范圍

如果系統中的某個參數或若干個參數是可以變化的，為使系統穩定，可利用奈氏判據來確定系統的參數穩定范圍，即根據奈氏曲線是否通過（－1，j0）點的條件來選定參數。下面以例說明之。

例5－8 試用奈氏判據確定該閉環系統穩定的K值范圍。

已知一單位反饋系統的開環傳遞函數為

試用奈氏判據確定該閉環系統穩定的K值范圍。

解　該系統是一個非最相位系統，其開環系統幅頻和相頻特性的表達式分別為

和慣性環節一樣，它的奈氏圖也是一個圓，如圖5－44所示。由于系統的P＝1，當ω由變化時，曲線如按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉一周，即N＝－1，則Z＝1－1＝0，表示閉環系統是穩定的。由圖5－44可見，系統穩定的條件是K＞1。

3、具有時滯環節的穩定性分析

由于時滯系統的開環傳遞函數中有著的環節，其閉環特征方程為一超越方程，因而勞斯穩定判據就不適用了。但是，奈氏穩定判據卻能較方便地用于對這類系統穩定性的判別。

設含有時滯環節的開環系統的傳遞如下：

(5-47)

式中，為時滯時間常數。將上式改寫成：

(5-48)

其中

(5-49)

不含時滯環節的傳遞函數。相應地，開環系統的幅頻特性和相頻特性為：

(5-50)

上式表明，當時，相對于，的幅值沒有變化，而相角則在每個上順時針多轉動了。

由于實際的控制系統中，，因此當時，的模趨于零，因而隨以螺旋形趨于原點，并且與GH平面的負半軸相交無窮點，如圖5－45。因此為使系統穩定，奈氏曲線與負實軸相交點必須位于（－1，j0）的左邊。

圖5-45

例5－9　試分析滯后時間對系統穩定性的影響。

設一時滯控制系統如圖5－46所示。已知圖中的，試分析滯后時間對系統穩定性的影響。

解　　系統的開環傳遞函數為

(5-51)

取值分別為0,2，4，圖5－47示出了式（5－51）在不同值時的奈氏曲線。由圖可見，當滯后時間為零時，系統相當于無時滯環節，不包圍（－1，j0）,所以閉環系統是穩定的；當＝2時，剛好經過（－1，j0），系統處于臨界穩定狀態；當＝4時，包圍（－1，j0）點，所以閉環系統是不穩定的?？梢?，時滯時間的增大，對控制系統的穩定和性能都是極為不利的。

圖5－47

5.4.4 奈氏穩定判據在對數坐標圖上的應用

與奈氏圖的繪制相比，開環對數頻率特性的繪制更為簡單、方便，因而研究開環對數頻率特性形式的奈氏穩定判據是有實際意義的。注意到開環系統的奈氏圖與相應的對數坐標圖之間有著下列的對應關系：

1）GH平面上單位圓的圓周與對數坐標圖上的0dB線相對應，單位圓的外部對應于，單位圓的內部對應于。

2）GH平面上的負實軸與對數坐標圖上的線相對應。

圖5－48a　奈氏圖上正、負穿越

圖5－48b　伯德圖上正、負穿越示

如果曲線以逆時針方向包圍（－1，j0）點一周，則此曲線必然由上向下穿越負實軸的線段一次。由于這種穿越使相角增大，故稱為正穿越，其次數用表示。反這，若曲線按順時針方向包圍（－1，j0）點一周，則此曲線將由下向上穿越負實軸的線段一次。由于這種穿越使相角減小，故稱為負穿越，其次數用表示。圖5－48a所示的為正負穿越數各一次的圖形。顯然，對應于圖5－48a上的正負穿越在伯德圖上表現為：在的頻域內，當增加時，相頻曲線由下而上（負穿越）和由上而下（正穿越）穿過線各一次，如圖5－48b所示。