控制系統的穩態誤差是因輸入信號不同而不同的。因此就需要規定一些典型輸入信號。通過評價系統在這些典型輸入信號作用下的穩態誤差來衡量和比較系統的穩態性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號有以下幾種：

1．單位階躍函數：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。

2．單位斜坡函數

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。

3．單位加速度函數：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。

4．單位脈沖函數

其拉普拉斯變換為R(s)=1。

5．正弦函數：

其中最常用的典型信號為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號。

系統的穩態誤差是指系統在穩定狀態下其實際輸出值（在實際工作中常用系統輸出的測量值代替）與給定值之差。對穩定的單輸入單輸出系統，穩態誤差是時域中衡量系統穩態響應的性能指標，它反映了系統的穩態精度，因此穩態誤差分析是控制系統分析的一項基本內容。

設有如圖3-1所示的系統。它的閉環傳函為

誤差信號e(t)和輸入信號r(t)之間的傳遞函數是

其中誤差e(t)是輸入信號和反饋信號之差。

?

圖3-1控制系統

終值定理為求穩定系統的穩態誤差提供了一個簡便的方法。因為E(s)是

則穩態誤差是

3.2.3 靜態誤差系數

當系統的輸入信號為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號之一時，上式分別化為：

單輸入單輸出線性系統的傳遞函數一般表示為：

????單位階躍函數：

(3-2)

????單位斜坡函數：

(3-3)

????單位加速度函數：

(3-4)

現定義誤差系數如下：

????靜態位置誤差系數Kp:

(3-5)

????靜態速度誤差系數Kv：

(3-6)

????靜態加速度誤差系數Ka：

(3-7)

將（3-5），（3-6）及（3-7）分別代入（3-2），（3-3）及（3-4）得

????單位階躍函數：

(3-8)

????單位斜坡函數：

(3-9)

????單位加速度函數：

(3-10)

下面進一步考察誤差系數與系統的結構和參數的關系。

系統開環傳遞函數一般寫成

(3-11)

的形式，式中K是系統的開環比例系數。分母中的因子sυ表明開環傳遞函數中含有υ個積分單元。將系統按照υ=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系統穩態誤差系數。

?	0型系統	1型系統	2型系統
（階躍輸入）r(t)=1(t)		0	0
（斜坡輸入）r(t)=t/td>	∞		0
（加速度輸入）r(t)=t2/2	∞	∞

誤差系數Kp、Kv和Ka描述了系統減少或消除穩態誤差的能力，系數值愈大，則給定穩態誤差終值愈小。一般來說，在保持瞬態響應在一個允許的范圍內時，希望增加誤差系數，如果在靜態速度誤差系數和加速度誤差系數之間有任何矛盾時，主要考慮前者。

務請注意，使用拉普拉斯變換終值定理計算穩態誤差終值的條件是：sEr(s)在s平面右半部及虛軸上除了坐標原點是孤立奇點外必需解析，亦即sEr(s)的全部極點除坐標原點外應全部分布在s平面的左半部。例如給定輸入為正弦函數時

其象函數

在s平面的全部虛軸上不解析，就不能使用終值定理去求取系統的穩態誤差終值。

3.2.4 動態誤差

靜態誤差系數的一個明顯特點，是對于一個給定系統只有一個系數呈現有限值，其它的系數不是零就是無窮大。因而，通過靜態誤差系數求得的靜態誤差或是零，或是有限的非零值，或是無窮大。所以，誤差隨時間的變化規律不能運用這種系數求出。但有些時候人們關心的往往是誤差隨時間變化的情況，這種誤差表現了誤差隨時間變化的規律，稱之為動態誤差。本節介紹的動態誤差將提供一些關于誤差怎樣隨時間變化的信息，即，系統在給定的輸入作用下穩態誤差是否會與t，t2等成比例地增加。

動態誤差不同但穩態誤差系數相同的系統 首先論證兩個具有不同動態誤差的系統卻能夠有相同的靜態誤差系數。設以下的兩個系統：

其靜態誤差系數由下列各式給出:
????Kp1=∞， Kp2=∞
????Kv1=10， Kv2=10
????Ka1=0， Ka2=0

于是，對于同樣的階躍輸入，兩個系統有相同的穩態誤差。當然，對于斜坡和拋物線輸入的穩態誤差，該結論也同樣適用。這個分析表明，不能根據靜態誤差系數去估算系統的動態誤差。

動態誤差系數 現在引進動態誤差系數來描述動態誤差。通過用E(s)/R(s)的分母多項式除它的分子多項式的方法，把E(s)/R(s)展開成下列s的升冪級數：

冪級數的系數K1、K2、K3、…被定義為動態誤差系數。對N型系統的動態誤差系數由下式給出：

其中
????K1=動態位置誤差系數；
????K2=動態速度誤差系數；
????K3=動態加速度誤差系數。

需要說明的是，在一個給定系統中，動態誤差系數是與靜態誤差系數有關的。例如：設下列具有單位反饋的0型系統：

其靜態位置誤差系數、靜態速度誤差系數和靜態加速度誤差系數分別是

其中
????Kp=K
????Kv=0
????Ka=0

由于E(s)/R(s)可展開成

所以，依據靜態誤差系數給出的動態誤差系數如下：
????k1=1+K=1+Kp

動態速度誤差系數由下式給出：

當E(s)寫成下面的形式時：
????E(s)= R(s)+ sR(s)+ s2R(s)+…

動態誤差系數的優點就更為清楚。這個級數的收斂域是s=0的鄰域，這相當于在時域內的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0的鄰域，這相當于在時域內的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0時的脈沖，則對應的時間解（即穩態誤差）由下式求出：

這樣，由輸入函數和它的導數所引起的穩態誤差能根據動態誤差系數求出，這便是動態誤差系數的一個優點。

如果E(s)/R(s)圍繞原點展開成一個冪級數，級數的逐項系數就表示系統在緩慢變化的輸入作用下的動態誤差。動態誤差系數是計算任意輸入作用下的誤差信號和穩態誤差的簡便方法。用這個方法就不需要實際去解系統的微分方程。

例3-9

設前向傳遞函數為G(s)= 的單位反饋控制系統，求出它的動態誤差系數。還要求出當輸入量為r(t)=a0+a1t+a2t2時的穩態誤差。

對于該系統 = =0.1s+0.09s2-0.019s3+…

即 =0.1 (t)+0.09 (t)-0.019 (t)+…

則動態誤差系數是 k1=∞

k2=1/0.1=10

k3=1/0.09=11.1

由于r(t)由下式給出：r(t)=a0+a1t+a2t²

得(t)=a1+a2t，(t)=2a2，(t)=0

于是，穩態誤差為

= [0.1(a1+a2t)+0.09(2a2)]= (0.1a1+0.18a2+0.2a2t)

只要不是a2=0，穩態誤差就變為無窮大。

由以上分析可知，如果E(s)/R(s)圍繞原點展開成一個冪級數，級數的逐項系數就表示系統在緩慢變化的輸入作用下的動態誤差。動態誤差系數是計算任意輸入作用下的誤差信號和穩態誤差的簡便方法。用這個方法就不需要實際去解系統的微分方程。