補(bǔ)碼就是正數(shù)的原碼的相反數(shù)的另一種編碼方式。它能把字長(zhǎng)內(nèi)的正數(shù)，補(bǔ)足為全是0。

補(bǔ)碼的意義：

現(xiàn)實(shí)生活中，我們有加法、減法、乘法和除法，但在計(jì)算機(jī)中只有一個(gè)加法器。換句話(huà)說(shuō)，加法運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中可以直接完成，減法、乘法和除法運(yùn)算最終也得轉(zhuǎn)換為加法才能實(shí)現(xiàn)，說(shuō)到這里，可以有些初學(xué)者會(huì)想，為什么計(jì)算機(jī)中不設(shè)計(jì)一個(gè)類(lèi)似于“加法器”的“減法器”或者“乘法器”的部件，主要原因是在生活中看似一些很簡(jiǎn)單的東西要用電路來(lái)實(shí)現(xiàn)都很復(fù)雜、很困難的，再說(shuō)如果用一個(gè)加法器可以實(shí)現(xiàn)其它運(yùn)算，其它的“加法器”、“減法器”或者“乘法器”也就沒(méi)有必要了，這樣還能使電路的設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)單。好了，現(xiàn)在我簡(jiǎn)要地說(shuō)一下補(bǔ)碼在計(jì)算機(jī)中的意義，計(jì)算機(jī)不能直接做減法，必須把相應(yīng)的減法變成加法，才能進(jìn)行計(jì)算。然而我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)數(shù)減去另外一個(gè)數(shù)，與一個(gè)數(shù)加上“另外一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼”結(jié)果是一樣的。這就是補(bǔ)碼對(duì)于計(jì)算機(jī)的意義：將減法運(yùn)算變成了加法運(yùn)算。

補(bǔ)碼有什么用？

正數(shù)的補(bǔ)碼，就是基本身

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，就是原碼按位取反加1

符號(hào)位，就是最高位，最左面的第一位；其它位，就是剩下的7位

由于運(yùn)算器進(jìn)行加法是最快的，因此，使用補(bǔ)碼是為了加快計(jì)算

碼”和“數(shù)”是兩個(gè)東西。

我們平時(shí)說(shuō)出或?qū)懗瞿场皵?shù)”，一般都是在十進(jìn)制下，用10個(gè)不同的“碼”（此處的“碼”還和原碼補(bǔ)碼反碼的概念不同）來(lái)表示。分別是0~9。超過(guò)9，也就是比最大的碼還大的數(shù)，采用進(jìn)位的方式來(lái)表示。于是有了“位”的概念。即個(gè)位，十位，百位等等。

表達(dá)負(fù)數(shù)的時(shí)候由于為了與算術(shù)和代數(shù)符號(hào)當(dāng)中減號(hào)或作差相互兼容，就在該數(shù)前面加上減號(hào)。

這種對(duì)一個(gè)數(shù)的寫(xiě)法也可以被名門(mén)為一種編碼方式。在這種編碼方式下每個(gè)數(shù)都有一定的“位數(shù)”，即“長(zhǎng)度”。在計(jì)算機(jī)當(dāng)中規(guī)定一定的位數(shù)稱(chēng)作“字長(zhǎng)”，比如4位，8位，16位，32位等等。只不過(guò)，計(jì)算機(jī)的物理存儲(chǔ)數(shù)據(jù)是二進(jìn)制方式。我們?nèi)祟?lèi)目前傳統(tǒng)的還是比較喜歡用10進(jìn)制方式。并且，我們?nèi)祟?lèi)一般不會(huì)在書(shū)寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候遇到“字長(zhǎng)”的概念。但是在念數(shù)字和記錄數(shù)據(jù)的時(shí)候，有一點(diǎn)點(diǎn)東西跟字長(zhǎng)相關(guān)。比如西方愛(ài)把數(shù)據(jù)分成三位一組三位一組的方式，覺(jué)得比較好記憶。比如12‘000讀成十二千，我們中國(guó)人愛(ài)以“萬(wàn)”為字長(zhǎng)，1’2000，讀作一萬(wàn)二千。舉這個(gè)例子表示字長(zhǎng)的概念不是很恰當(dāng)。因?yàn)閷?duì)人而言這只是一種表達(dá)習(xí)慣。但是對(duì)機(jī)器而言，“字長(zhǎng)”則是計(jì)算的長(zhǎng)度單位。設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)進(jìn)行最簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算，首先要考慮的就是加法器進(jìn)行一次加法運(yùn)算，位數(shù)是多長(zhǎng)？加法器設(shè)計(jì)成多少位的加法器？等等。這就是計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)。它和編碼方式一起，構(gòu)成了計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)。

有了字長(zhǎng)的概念才好說(shuō)補(bǔ)碼。

在十進(jìn)制下也有補(bǔ)碼的概念。插一句，談到補(bǔ)碼一定要先明確字長(zhǎng)的長(zhǎng)度。

補(bǔ)碼是用來(lái)表示負(fù)數(shù)的一種編碼方式。也是為了在計(jì)算機(jī)的核心加法器部分的設(shè)計(jì)避免減法操作，存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的時(shí)候避免存儲(chǔ)負(fù)號(hào)。

舉個(gè)例子，假如我們模擬一個(gè)字長(zhǎng)為4位的十進(jìn)制計(jì)算機(jī)。（假設(shè)有某種機(jī)制，可以在1位上有10種穩(wěn)定的狀態(tài)）

對(duì)兩個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算：1234 和 -1234

如果用原碼，那么我們需要用一個(gè)1位的寄存器來(lái)存儲(chǔ)和表示負(fù)號(hào)。假設(shè)就在4位的最左邊的最高位前用1表示負(fù)號(hào)，0表示正號(hào)。

則，原碼表示上面兩個(gè)數(shù)：

0 1234

1 1234

然后計(jì)算機(jī)做求和，做加法的過(guò)程中。計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)，其中有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，于是要切換為兩個(gè)正數(shù)相減的模式來(lái)運(yùn)算。這很不方便。

于是，補(bǔ)碼被想出來(lái)了。

-1234和正1234相加不是等于0000嗎？在4位的字長(zhǎng)當(dāng)中的數(shù)，和1234相加為0000的，是不是唯一的一個(gè)數(shù)哪？很明顯8766和1234相加等于1‘0000，后4位是0000。

那么，8766就可以看著是-1234的一種編碼表示方式，被稱(chēng)作“補(bǔ)碼”。

所以，補(bǔ)碼就是把數(shù)1234在一個(gè)字長(zhǎng)內(nèi)，補(bǔ)足為1’0000的數(shù)的編碼方式。也就是一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表達(dá)方式。

加上符號(hào)位，正數(shù)0‘1234的相反數(shù)的補(bǔ)碼表示就是1’8766。

十進(jìn)制里，-1234的反碼就是1‘8765

所以，現(xiàn)在回到4位字長(zhǎng)的2進(jìn)制計(jì)算機(jī)里來(lái)看。補(bǔ)碼和反碼的構(gòu)成方式是一樣的。0’0001的相反數(shù)是-1。

補(bǔ)碼表示1‘1111

反碼表示1’1110

補(bǔ)碼是誰(shuí)發(fā)明的

誰(shuí)發(fā)明的未知，但根據(jù)wikipedia上的說(shuō)法，最初是馮諾依曼引入到計(jì)算機(jī)的。

很早以前，許多計(jì)算機(jī)的內(nèi)部數(shù)值編碼是用的反碼，反碼這玩意有缺點(diǎn)： 它的值域內(nèi)有-0和+0，一個(gè)數(shù)與它的補(bǔ)數(shù)相加為-0，這給運(yùn)算帶來(lái)一些麻煩。

補(bǔ)碼就沒(méi)有這些問(wèn)題，不但只有一個(gè)0，而且補(bǔ)碼的加減乘法都可以化簡(jiǎn)為加法一種方式。 所以在計(jì)算機(jī)里補(bǔ)碼對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算器有很大的作用。

補(bǔ)碼的回顧以及補(bǔ)碼發(fā)明的思路推演思考

補(bǔ)碼與求補(bǔ)運(yùn)算的定義

N個(gè)二進(jìn)制位，M=N-1

通過(guò)一種編碼映射。100.。.00 - 111.。.11 表示 （-2^M） - （-1） ; 000.。.00 - 011.。.11 表示 （0） - （2^M - 1）

對(duì)于編碼A的求補(bǔ) f（A） = （2^N）- A

原碼轉(zhuǎn)化成補(bǔ)碼：

對(duì)于正數(shù)和零，原碼即是補(bǔ)碼

對(duì)于負(fù)數(shù)A，一般理解方法：

先做反碼，然后編碼意義上加1

求補(bǔ)運(yùn)算的意義：

換言之，若要對(duì)一個(gè)數(shù)A求反，對(duì)那個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼A1做一次求補(bǔ)運(yùn)算f（A1），所求的補(bǔ)碼B1就是原來(lái)數(shù)A的相反數(shù)B的補(bǔ)碼。

這里提供原碼轉(zhuǎn)化成補(bǔ)碼另外一個(gè)理解方法

對(duì)于求負(fù)數(shù)A的補(bǔ)碼

本質(zhì)上，負(fù)數(shù)A的相反數(shù)B，B是正數(shù)，B的原碼B1就是B的補(bǔ)碼，A的補(bǔ)碼就是f（B1）

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機(jī)器實(shí)現(xiàn)：

x-y = x-1-y+1 = （x-1） - y + 1

在補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)碼中，這里的x=2^N

這里的（x-1） - y即使對(duì)y進(jìn)行反碼操作，在A(yíng)LU中可以N位同時(shí)刷新

至于N位整數(shù)+1，有一定的進(jìn)位延時(shí)。

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邊界情況：

容易看到，我們對(duì)-2^N求反，仍然是-2^N

對(duì)2^N-1求反，則是-（2^N）-1

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利用補(bǔ)碼這種編碼性質(zhì)

f（y） = -y

x + y = x + y

x - y = x + f（y）

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馬后炮：事后猜測(cè)補(bǔ)碼發(fā)明的思路， 從而看補(bǔ)碼的優(yōu)勢(shì)

先看正碼表示，設(shè)N=4， -1 = 1001; -2 = 1010， -1 》 -2， 但是 1001 《 1010，兩種映射的編碼的序性不一致

反碼呢，-1=1110， -2 = 1101， Ok，序性正確了，

然而，這里有一個(gè)問(wèn)題，就是正數(shù)與負(fù)數(shù)之間，有一個(gè)1的縫隙。-1=1110， 1=0001，從循環(huán)編碼的角度，這兩個(gè)編碼相差3：1110-》1111-》0000-》0001。

因?yàn)檎愫拓?fù)零是兩個(gè)數(shù)，導(dǎo)致兩個(gè)數(shù)系的斷裂。怎么辦？讓負(fù)數(shù)整體往正數(shù)靠攏，邁進(jìn)一步（+1），負(fù)1沒(méi)有了。

這就是求補(bǔ)的過(guò)程了。反碼再加1。

我想，當(dāng)初寫(xiě)出計(jì)算機(jī)的編碼設(shè)計(jì)論文的大牛（好像是圖靈還是什么的），當(dāng)然有更深的考慮。但從序性和數(shù)系聯(lián)系的角度，補(bǔ)碼的發(fā)明是相當(dāng)合理的。而這種合理性，我個(gè)人認(rèn)為，正是其優(yōu)點(diǎn)。

從機(jī)器實(shí)現(xiàn)的角度，并不算復(fù)雜，但相對(duì)反碼的機(jī)器實(shí)現(xiàn)，還是多了+1的進(jìn)位延時(shí)。

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int與unsigned int的思考

順便，我也整理一下這里的誤區(qū)。

如果聲明變量a為int，但是卻當(dāng)作unsigned int，如果正常累加超出范圍，轉(zhuǎn)化成unsigned int結(jié)果應(yīng)該還是可信的。

不過(guò)算了，我們利用好轉(zhuǎn)換和保證類(lèi)型的一致，這些底層的問(wèn)題我們確實(shí)還是當(dāng)作透明為好。