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計算機為什么使用補碼的形式來表示負數

Wildesbeast ? 來源:今日頭條 ? 作者:算法集市 ? 2020-02-12 15:28 ? 次閱讀

計算機有三種編碼方式來表示同一個數:

原碼:符號位加上真值的絕對值,第一位表示符號,其余位表示值。

反碼:正數的反碼是其本身;負數的反碼是在其原碼的基礎上,符號位不變,其余位取反。

補碼:正數的補碼還是其本身;負數的補碼是在其原碼的基礎上,符號位保持不變,其余位取反,最后+1。即反碼加1。

對于+1和-1,

[+1] = [0001]原 = [0001]反 = [0001]補

[-1] = [1001]原 = [1110]反 = [1111]補

為什么計算機采用補碼的形式來表示負數呢?

首先我們知道,一個數在計算機中有正負之分,這個數的最高位(符號位)用來表示它的正負,其中0表示正數,1表示負數。

對于計算機來說,加法是最基礎的運算,要設計的盡量簡單。

根據加法的運算法則,a-b等于a+(-b)。

如果能將符號位也參與到運算中,而非單獨“辨識符號位”,就可以大大簡化計算機的基礎電路。

于是,人們開始探索只保留加法,并將符號位參與到運算中的方法。

1、原碼:1 - 1 = 0

首先來看原碼:1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]原 + [1001]原

= [1002]原

= -2

這顯然是錯誤的。

2、反碼:1 - 1 = 0

對于反碼:

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]反 + [1110]反

= [1111]反

= [1000]原

= -0

用反碼進行計算,發現結果是對的。但有一個問題是“0”的表示有兩個:

-0([1000])

+0([0000])

而0帶符號是沒有意義的。

且采用補碼形式,對于4位的二進制,其表達的范圍為:[1000]反~[0111]反,即[1111]原~[0111]原,也即[-7,7]。

因為“0”有兩個編碼形式,所以等于浪費了一個編碼。

3、補碼:1 - 1 = 0

而補碼解決了反碼的問題:

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]補 + [1111]補

= [0000]補

= [0000]原

= 0

使用補碼, 不僅僅解決了0的符號以及存在兩個編碼的問題,而且還能夠用[1000]來表示-8,即多表示一個最低數。

即對于4位的二進制,使用原碼或反碼表示的范圍為[-7,+7],而使用補碼表示的范圍為[-8,7]。

因為計算機采用補碼來表示負數,所以對于編程中常用到的32位int類型,可以表示范圍是:[-2^31,2^31-1] 。

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