神經網絡反向傳播算法（Backpropagation Algorithm）是一種用于訓練多層前饋神經網絡的監督學習算法。它通過最小化損失函數來調整網絡的權重和偏置，從而提高網絡的預測性能。本文將介紹反向傳播算法的推導過程，包括前向傳播、損失函數、梯度計算和權重更新等步驟。

1. 前向傳播

前向傳播是神經網絡中信息從輸入層到輸出層的傳遞過程。在多層前饋神經網絡中，每個神經元都與前一層的所有神經元相連，并通過激活函數進行非線性變換。假設我們有一個包含L層的神經網絡，其中第l層有n_l個神經元。對于第l層的第i個神經元，其輸入為x_l^i，輸出為a_l^i，權重為w_l^i，偏置為b_l^i。則有：

a_l^i = f(z_l^i) = f(∑(w_l^j * a_{l-1}^j) + b_l^i)

其中，z_l^i是第l層第i個神經元的輸入加權和，f(·)是激活函數，如Sigmoid、Tanh或ReLU等。

2. 損失函數

損失函數用于衡量神經網絡預測值與實際值之間的差異。常見的損失函數有均方誤差（MSE）、交叉熵損失（Cross-Entropy Loss）等。對于二分類問題，我們可以使用以下形式的交叉熵損失函數：

L(y, a) = -[y * log(a) + (1 - y) * log(1 - a)]

其中，y是實際值（0或1），a是神經網絡的預測值。

3. 梯度計算

梯度計算是反向傳播算法的核心，它涉及到對損失函數關于權重和偏置的偏導數的計算。我們的目標是找到損失函數的最小值，因此需要計算梯度并更新權重和偏置。

首先，我們需要計算輸出層的梯度。對于第L層的第i個神經元，其梯度可以表示為：

?L/?a_L^i = ?L/?z_L^i * ?z_L^i/?a_L^i = (a_L^i - y_i) * f'(z_L^i)

其中，y_i是第i個樣本的實際值，f'(z_L^i)是激活函數的導數。

接下來，我們需要計算隱藏層的梯度。對于第l層的第i個神經元，其梯度可以表示為：

?L/?a_l^i = ∑(?L/?z_L^j * w_L^j * ?z_L^j/?a_l^i) * f'(z_l^i)

這里，我們使用了鏈式法則來計算梯度。對于權重w_l^i和偏置b_l^i，它們的梯度可以表示為：

?L/?w_l^i = ?L/?z_l^i * x_{l-1}^i
?L/?b_l^i = ?L/?z_l^i

4. 權重更新

在計算出梯度后，我們可以使用梯度下降法或其他優化算法來更新權重和偏置。權重更新的公式如下：

w_l^i = w_l^i - α * ?L/?w_l^i
b_l^i = b_l^i - α * ?L/?b_l^i

其中，α是學習率，一個超參數，用于控制權重更新的步長。

5. 反向傳播算法的實現

反向傳播算法通常包括以下步驟：

1. 初始化網絡權重和偏置。
2. 對于每個訓練樣本，執行前向傳播，計算輸出層的激活值。
3. 計算損失函數值。
4. 使用鏈式法則計算每個層的梯度。
5. 更新權重和偏置。
6. 重復步驟2-5，直到滿足停止條件（如達到預定的迭代次數或損失函數值低于某個閾值）。