在本節中，我們將討論優化與深度學習之間的關系以及在深度學習中使用優化的挑戰。對于一個深度學習問題，我們通常會先定義一個 損失函數。一旦我們有了損失函數，我們就可以使用優化算法來嘗試最小化損失。在優化中，損失函數通常被稱為優化問題的目標函數。按照傳統和約定，大多數優化算法都與最小化有關。如果我們需要最大化目標，有一個簡單的解決方案：只需翻轉目標上的標志。

12.1.1。優化目標

盡管優化為深度學習提供了一種最小化損失函數的方法，但從本質上講，優化和深度學習的目標是根本不同的。前者主要關注最小化目標，而后者關注在給定有限數據量的情況下找到合適的模型。在 第 3.6 節中，我們詳細討論了這兩個目標之間的區別。例如，訓練誤差和泛化誤差通常不同：由于優化算法的目標函數通常是基于訓練數據集的損失函數，因此優化的目標是減少訓練誤差。然而，深度學習（或更廣泛地說，統計推斷）的目標是減少泛化誤差。為了完成后者，除了使用優化算法來減少訓練誤差外，我們還需要注意過度擬合。

%matplotlib inline
import numpy as np
import torch
from mpl_toolkits import mplot3d
from d2l import torch as d2l

%matplotlib inline
from mpl_toolkits import mplot3d
from mxnet import np, npx
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

%matplotlib inline
import numpy as np
import tensorflow as tf
from mpl_toolkits import mplot3d
from d2l import tensorflow as d2l

為了說明上述不同的目標，讓我們考慮經驗風險和風險。如第 4.7.3.1 節所述 ，經驗風險是訓練數據集的平均損失，而風險是整個數據群的預期損失。下面我們定義兩個函數：風險函數f和經驗風險函數g。假設我們只有有限數量的訓練數據。結果，這里g 不如 平滑f。

def f(x):
  return x * torch.cos(np.pi * x)

def g(x):
  return f(x) + 0.2 * torch.cos(5 * np.pi * x)

def f(x):
  return x * np.cos(np.pi * x)

def g(x):
  return f(x) + 0.2 * np.cos(5 * np.pi * x)

def f(x):
  return x * tf.cos(np.pi * x)

def g(x):
  return f(x) + 0.2 * tf.cos(5 * np.pi * x)

下圖說明了訓練數據集上經驗風險的最小值可能與風險的最小值（泛化誤差）位于不同的位置。

def annotate(text, xy, xytext): #@save
  d2l.plt.gca().annotate(text, xy=xy, xytext=xytext,
              arrowprops=dict(arrowstyle='->'))

x = torch.arange(0.5, 1.5, 0.01)
d2l.set_figsize((4.5, 2.5))
d2l.plot(x, [f(x), g(x)], 'x', 'risk')
annotate('min ofnempirical risk', (1.0, -1.2), (0.5, -1.1))
annotate('min of risk', (1.1, -1.05), (0.95, -0.5))

def annotate(text, xy, xytext): #@save
  d2l.plt.gca().annotate(text, xy=xy, xytext=xytext,
              arrowprops=dict(arrowstyle='->'))

x = np.arange(0.5, 1.5, 0.01)
d2l.set_figsize((4.5, 2.5))
d2l.plot(x, [f(x), g(x)], 'x', 'risk')
annotate('min ofnempirical risk', (1.0, -1.2), (0.5, -1.1))
annotate('min of risk', (1.1, -1.05), (0.95, -0.5))

def annotate(text, xy, xytext): #@save
  d2l.plt.gca().annotate(text, xy=xy, xytext=xytext,
              arrowprops=dict(arrowstyle='->'))

x = tf.range(0.5, 1.5, 0.01)
d2l.set_figsize((4.5, 2.5))
d2l.plot(x, [f(x), g(x)], 'x', 'risk')
annotate('min ofnempirical risk', (1.0, -1.2), (0.5, -1.1))
annotate('min of risk', (1.1, -1.05), (0.95, -0.5))

12.1.2。深度學習中的優化挑戰

在本章中，我們將特別關注優化算法在最小化目標函數方面的性能，而不是模型的泛化誤差。在 3.1 節中，我們區分了優化問題中的解析解和數值解。在深度學習中，大多數目標函數都很復雜，沒有解析解。相反，我們必須使用數值優化算法。本章的優化算法都屬于這一類。

深度學習優化有很多挑戰。一些最令人煩惱的是局部最小值、鞍點和梯度消失。讓我們來看看它們。

12.1.2.1。局部最小值

對于任何目標函數f(x), 如果值f(x)在 x小于的值f(x)在附近的任何其他點x， 然后f(x)可能是局部最小值。如果值f(x)在x是整個域內目標函數的最小值，則f(x)是全局最小值。

例如，給定函數

(12.1.1)f(x)=x?cos(πx)for?1.0≤x≤2.0,

我們可以逼近這個函數的局部最小值和全局最小值。

x = torch.arange(-1.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [f(x), ], 'x', 'f(x)')
annotate('local minimum', (-0.3, -0.25), (-0.77, -1.0))
annotate('global minimum', (1.1, -0.95), (0.6, 0.8))

x = np.arange(-1.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [f(x), ], 'x', 'f(x)')
annotate('local minimum', (-0.3, -0.25), (-0.77, -1.0))
annotate('global minimum', (1.1, -0.95), (0.6, 0.8))

x = tf.range(-1.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [f(x), ], 'x', 'f(x)')
annotate('local minimum', (-0.3, -0.25), (-0.77, -1.0))
annotate('global minimum', (1.1, -0.95), (0.6, 0.8))

深度學習模型的目標函數通常有很多局部最優值。當優化問題的數值解接近局部最優時，隨著目標函數解的梯度趨近或變為零，最終迭代得到的數值解可能只會局部最小化目標函數，而不是全局最小化。只有某種程度的噪聲可能會使參數超出局部最小值。事實上，這是小批量隨機梯度下降的有益特性之一，其中小批量梯度的自然變化能夠將參數從局部最小值中移除。

12.1.2.2。鞍點

除了局部最小值，鞍點是梯度消失的另一個原因。鞍點是函數的所有梯度都消失但既不是全局最小值也不是局部最小值的任何位置。考慮函數f(x)=x3. 它的一階和二階導數消失為x=0. 優化可能會在此時停止，即使它不是最小值。

x = torch.arange(-2.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [x**3], 'x', 'f(x)')
annotate('saddle point', (0, -0.2), (-0.52, -5.0))

x = np.arange(-2.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [x**3], 'x', 'f(x)')
annotate('saddle point', (0, -0.2), (-0.52, -5.0))

x = tf.range(-2.0, 2.0, 0.01)
d2l.plot(x, [x**3], 'x', 'f(x)')
annotate('saddle point', (0, -0.2), (-0.52, -5.0))

更高維度的鞍點更加隱蔽，如下例所示。考慮函數f(x,y)=x2?y2. 它的鞍點位于(0,0). 這是相對于y和最低限度x. 此外，它看起來像一個馬鞍，這就是這個數學性質得名的地方。

x, y = torch.meshgrid(
  torch.linspace(-1.0, 1.0, 101), torch.linspace(-1.0, 1.0, 101))
z = x**2 - y**2

ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 10, 'cstride': 10})
ax.plot([0], [0], [0], 'rx')
ticks = [-1, 0, 1]
d2l.plt.xticks(ticks)
d2l.plt.yticks(ticks)
ax.set_zticks(ticks)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y');

x, y = np.meshgrid(
  np.linspace(-1.0, 1.0, 101), np.linspace(-1.0, 1.0, 101))
z = x**2 - y**2

ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x.asnumpy(), y.asnumpy(), z.asnumpy(),
         **{'rstride': 10, 'cstride': 10})
ax.plot([0], [0], [0], 'rx')
ticks = [-1, 0, 1]
d2l.plt.xticks(ticks)
d2l.plt.yticks(ticks)
ax.set_zticks(ticks)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y');

x, y = tf.meshgrid(
  tf.linspace(-1.0, 1.0, 101), tf.linspace(-1.0, 1.0, 101))
z = x**2 - y**2

ax = d2l.plt.figure().add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 10, 'cstride': 10})
ax.plot([0], [0], [0], 'rx')
ticks = [-1, 0, 1]
d2l.plt.xticks(ticks)
d2l.plt.yticks(ticks)
ax.set_zticks(ticks)
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('y');

我們假設函數的輸入是k維向量，它的輸出是一個標量，所以它的 Hessian 矩陣有k 特征值。函數的解可以是局部最小值、局部最大值或函數梯度為零的位置處的鞍點：

當函數的 Hessian 矩陣在零梯度位置的特征值都為正時，函數有一個局部最小值。

當函數的 Hessian 矩陣在零梯度位置的特征值全部為負時，我們有函數的局部最大值。

當函數的 Hessian 矩陣在零梯度位置的特征值分別為負和正時，我們就有了函數的鞍點。

對于高維問題，至少某些特征值為負的可能性非常高。這使得鞍點比局部最小值更有可能。我們將在下一節介紹凸性時討論這種情況的一些例外情況。簡而言之，凸函數是那些 Hessian 矩陣的特征值從不為負的函數。但遺憾的是，大多數深度學習問題并不屬于這一類。盡管如此，它還是研究優化算法的好工具。

12.1.2.3。消失的漸變

可能遇到的最隱蔽的問題是梯度消失。回憶一下我們在5.1.2 節中常用的激活函數及其派生函數。例如，假設我們要最小化函數f(x)=tanh?(x)我們碰巧開始于x=4. 正如我們所見，梯度f接近于零。進一步來說， f′(x)=1?tanh2?(x)因此f′(4)=0.0013. 因此，在我們取得進展之前，優化將停滯很長時間。事實證明，這是在引入 ReLU 激活函數之前訓練深度學習模型非常棘手的原因之一。

x = torch.arange(-2.0, 5.0, 0.01)
d2l.plot(x, [torch.tanh(x)], 'x', 'f(x)')
annotate('vanishing gradient', (4, 1), (2, 0.0))

x = np.arange(-2.0, 5.0, 0.01)
d2l.plot(x, [np.tanh(x)], 'x', 'f(x)')
annotate('vanishing gradient', (4, 1), (2, 0.0))

x = tf.range(-2.0, 5.0, 0.01)
d2l.plot(x, [tf.tanh(x)], 'x', 'f(x)')
annotate('vanishing gradient', (4, 1), (2, 0.0))

正如我們所見，深度學習的優化充滿挑戰。幸運的是，存在一系列強大的算法，它們性能良好并且即使對于初學者也易于使用。此外，并不是真的有必要找到最佳解決方案。其局部最優甚至近似解仍然非常有用。

12.1.3。概括

最小化訓練誤差并不能保證我們找到最佳參數集來最小化泛化誤差。

優化問題可能有很多局部極小值。

該問題可能有更多的鞍點，因為通常問題不是凸的。

消失的梯度會導致優化停止。問題的重新參數化通常會有所幫助。參數的良好初始化也可能是有益的。

12.1.4。練習

考慮一個簡單的 MLP，它有一個隱藏層，比方說，d 隱藏層中的維度和單個輸出。表明對于任何局部最小值，至少有d!行為相同的等效解決方案。

假設我們有一個對稱隨機矩陣M 條目在哪里Mij=Mji每個都是從一些概率分布中得出的pij. 此外假設 pij(x)=pij(?x)，即分布是對稱的（有關詳細信息，請參見例如Wigner ( 1958 )）。

證明特征值的分布也是對稱的。也就是說，對于任何特征向量v相關特征值的概率λ滿足 P(λ>0)=P(λ<0).

為什么上面沒有暗示P(λ>0)=0.5？

您還能想到深度學習優化中涉及的其他哪些挑戰？

假設您想要在（真實的）鞍座上平衡一個（真實的）球。

為什么這很難？

您能否將這種效應也用于優化算法？