模態(tài)的概念

模態(tài)：物體按照某一階固有頻率振動時，物體上各個點偏離平衡位置的位移是滿足一定的比例關(guān)系的，可以用一個向量表示，這個就稱之為模態(tài)。模態(tài)這個概念一般是在振動領(lǐng)域所用，你可以初步的理解為振動狀態(tài)，我們都知道每個物體都具有自己的固有頻率，在外力的激勵作用下，物體會表現(xiàn)出不同的振動特性。

一階模態(tài)：是外力的激勵頻率與物體固有頻率相等的時候出現(xiàn)的，此時物體的振動形態(tài)叫做一階振型或主振型；二階模態(tài)是外力的激勵頻率是物體固有頻率的兩倍時候出現(xiàn)，此時的振動外形叫做二階振型，以依次類推。

一般來講，外界激勵的頻率非常復(fù)雜，物體在這種復(fù)雜的外界激勵下的振動反應(yīng)是各階振型的復(fù)合。

模態(tài)分析的概念

模態(tài)分析：模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態(tài)分析。

固有頻率：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在受到外界激勵產(chǎn)生運動時，將按特定頻率發(fā)生自然振動，這個特定的頻率被稱為結(jié)構(gòu)的固有頻率，通常一個結(jié)構(gòu)有很多個固有頻率。固有頻率與外界激勵沒有關(guān)系，是結(jié)構(gòu)的一種固有屬性。不管外界有沒有對結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵，結(jié)構(gòu)的固有頻率都是存在的，只是當(dāng)外界有激勵時，結(jié)構(gòu)是按固有頻率產(chǎn)生振動響應(yīng)的。

有限元中模態(tài)分析的本質(zhì)是求矩陣的特征值問題，所以“階數(shù)”就是指特征值的個數(shù)。

將特征值從小到大排列就是階次。實際的分析對象是無限維的，所以其模態(tài)具有無窮階。但是對于運動起主導(dǎo)作用的只是前面的幾階模態(tài)，所以計算時根據(jù)需要計算前幾階的。一個物體有很多個固有振動頻率（理論上無窮多個），按照從小到大順序，第一個就叫第一階固有頻率，依次類推。所以模態(tài)的階數(shù)就是對應(yīng)的固有頻率的階數(shù)。

振型是指體系的一種固有的特性。

它與固有頻率相對應(yīng)，即為對應(yīng)固有頻率體系自身振動的形態(tài)。每一階固有頻率都對應(yīng)一種振型。振型與體系實際的振動形態(tài)不一定相同。 振型對應(yīng)于頻率而言，一個固有頻率對應(yīng)于一個振型。按照頻率從低到高的排列，來說第一振型，第二振型等等。此處的振型就是指在該固有頻率下結(jié)構(gòu)的振動形態(tài)，頻率越高則振動周期越小。在實驗中，我們就是通過用一定的頻率對結(jié)構(gòu)進(jìn)行激振，觀測相應(yīng)點的位移狀況，當(dāng)觀測點的位移達(dá)到最大時，此時頻率即為固有頻率。實際結(jié)構(gòu)的振動形態(tài)并不是一個規(guī)則的形狀，而是各階振型相疊加的結(jié)果。

為什么要進(jìn)行模態(tài)分析

模態(tài)分析是最簡單的動力學(xué)分析，有非常廣泛的實用價值。模態(tài)分析可以幫助設(shè)計人員確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，從而使結(jié)構(gòu)避免共振，并指導(dǎo)工程師預(yù)測在不同載荷作用下的振動形式。

1、驗證有限元模型的準(zhǔn)確性

在試驗?zāi)B(tài)前期階段，通過有限元模態(tài)分析可以幫助確定試驗中的測點分布和參考點位置。而在后期階段，試驗?zāi)B(tài)的結(jié)果可以用于校準(zhǔn)有限元模態(tài)，提高模型的準(zhǔn)確性，因為有限元模型做了很多簡化處理的，如裝配與接觸等等方面。

注：使用諧響應(yīng)進(jìn)行掃頻分析時，查看模態(tài)振型確定測試點分布和參考點位置，在諧響應(yīng)分析時進(jìn)行詳細(xì)講述。

2、評價現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性

通過模態(tài)分析可以求得各階模態(tài)參數(shù)，同時考慮結(jié)構(gòu)所受的載荷，可得到結(jié)構(gòu)的實際響應(yīng)，從而評價結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性是否符合要求。

當(dāng)獲得了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)之后，可在不修改實際結(jié)構(gòu)的情況下，基于模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行動力學(xué)修改（加減質(zhì)量、彈簧-阻尼、動力吸振器等），驗證修改之后的動力學(xué)行為，為實際結(jié)構(gòu)的動力學(xué)修改提供指導(dǎo)。

注：模態(tài)分析中考慮阻尼影響時，可以不在材料設(shè)置中進(jìn)行非線性設(shè)置，而是通過模態(tài)分析阻尼系數(shù)進(jìn)行設(shè)置。

3、對結(jié)構(gòu)危險部分進(jìn)行預(yù)判

產(chǎn)品設(shè)計中出現(xiàn)了薄弱部分，其剛度必須降低，因此，薄弱環(huán)節(jié)必然影響模態(tài)參數(shù)，導(dǎo)致出現(xiàn)明顯的局部模態(tài)。另一方面，薄弱部分輻射的噪聲也必然增大。

注：日常工作中，接到復(fù)雜結(jié)構(gòu)（上百個零件）裝配體，對模型進(jìn)行基礎(chǔ)簡化處理后，不論分析內(nèi)容是什么，我都會首先進(jìn)行模態(tài)分析。

①驗?zāi)＃喝绻b配關(guān)系不合理時，前幾階模態(tài)可能是0；

②了解分析模型基本情況：安裝位置合理性，剛度薄弱位置；

③為后續(xù)分析工作做準(zhǔn)備。

為什么只考慮低階固有頻率

低頻模態(tài)的有效質(zhì)量更大，更容易被激勵起來，另外結(jié)構(gòu)受到特定的激勵時，也只關(guān)系特定階的固有頻率，這也是我們一般只看一階模態(tài)得原因。

影響固有頻率的因素

結(jié)構(gòu)的固有頻率只受剛度分布和質(zhì)量分布的影響，而阻尼對固有頻率的影響非常有限。而在百度百科中說固有頻率受形狀、材質(zhì)的影響，其實也不竟然。材質(zhì)不同，其材料屬性（密度、楊氏模量和泊松比等）不同，影響的最終參數(shù)還是質(zhì)量和剛度,而形狀不同,影響也是這兩個參數(shù)。

因此，影響固有頻率的只有質(zhì)量和剛度，而其他任何因素，最終影響的也是這兩個因數(shù)。如結(jié)構(gòu)的邊界條件不同，固有頻率必然不同，這是因為邊界條件會影響到結(jié)構(gòu)的剛度分布。

質(zhì)量增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然降低；剛度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然增大。但是剛度繼續(xù)增大，固有頻率不會無限增大，只會增大一定距離。剛度增加越快，頻率移動越慢。這是因為，結(jié)構(gòu)的共振峰對應(yīng)的是固有頻率，剛度增大后，結(jié)構(gòu)的固有頻率會向上移動靠近反共振峰，反共振峰對應(yīng)的剛度是無限大的。因此，剛度無限增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率向上移動不超過反共振峰對應(yīng)的頻率，所以剛度增大只能使固有頻率增大一定距離，如下圖所示。

模態(tài)分析相關(guān)實例

選擇靜力學(xué)分析時用到的懸臂梁模型，并添加鋼密度屬性7850Kg/m3；不考慮懸臂梁頂部的重物（考慮重物對懸臂梁的影響時，可選擇預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析）。要求通過有限元分析技術(shù)得到結(jié)構(gòu)的固有頻率。

分析思路與求解過程要點說明：

懸臂梁一端固定，不考慮阻尼效應(yīng)，由于結(jié)構(gòu)此時沒有受外力影響，故選擇最簡模式模態(tài)分析。結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計中，往往低階頻率是工程師比較關(guān)注的，此例子提取前6階模態(tài)；

選擇合適單元類型，并采用合適的網(wǎng)格技術(shù)得到懸臂梁合適的網(wǎng)格劃分（可選擇六面體網(wǎng)格劃分），確保網(wǎng)格劃分后的有限元網(wǎng)格模型與實際懸臂量模型接近；

實例結(jié)果與討論：

通過有限元結(jié)構(gòu)模態(tài)分析計算輸出數(shù)據(jù)判斷，此懸臂梁前兩階模態(tài)分別代表懸臂梁的Y方向振動與X方向振動，提取模態(tài)振型如下所示：

1階模態(tài)振型（此振型代表懸臂量的Y方向基礎(chǔ)振型）

2階模態(tài)振型（此振型代表懸臂量的X方向基礎(chǔ)振型）

前6階模態(tài)頻率展示

通過輸出數(shù)據(jù)可知，1階模態(tài)振型條件下，結(jié)構(gòu)振動頻率為141Hz；2階模態(tài)振型條件下，結(jié)構(gòu)振動頻率為244Hz。此時，通過有限元其他輸出數(shù)據(jù)可得到，1階模態(tài)振型條件下，結(jié)構(gòu)有效振動質(zhì)量約占總體質(zhì)量的71%；2階模態(tài)振型條件下，結(jié)構(gòu)有效振動質(zhì)量約占總體質(zhì)量的74%。

注意：前6階模態(tài)為0或很小，表明是剛體運動狀態(tài)（平動和轉(zhuǎn)動），可忽略。

結(jié)果判斷與討論：

結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)頻率是否滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計，需要與結(jié)構(gòu)外力條件（或者是激勵）對比。如果頻率接近，此時結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振，容易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞；如果頻率相差較遠(yuǎn)（不管是頻率偏大還是偏小），說明結(jié)構(gòu)振動頻率滿足設(shè)計。

如果模態(tài)頻率與結(jié)構(gòu)設(shè)計激勵頻率接近，需要進(jìn)一步采用其他動力學(xué)分析類型（比如諧響應(yīng)分析）計算結(jié)構(gòu)的動態(tài)特征，此時，一般情況下，需要考慮模態(tài)計算時結(jié)構(gòu)振動頻率下的有效質(zhì)量。比如此例中，1階模態(tài)振動方向為Y方向，此時Y方向在前6階模態(tài)的有效質(zhì)量占比約為71%，是不滿足計算要求的，也就是說，此例中模態(tài)計算是不準(zhǔn)確的，采用當(dāng)前的網(wǎng)格技術(shù)以及模態(tài)計算方法不能夠進(jìn)行后期的動力學(xué)計算（可通過提高網(wǎng)格精度以及提取更多的模態(tài)數(shù)提供有效質(zhì)量占比）。

模態(tài)振型結(jié)果中，往往會有云圖顯示，此時云圖數(shù)據(jù)（如上面1階模態(tài)振型圖）不代表結(jié)構(gòu)實際的位移變形量；此云圖數(shù)據(jù)描述了結(jié)構(gòu)振動過程中，各部分的變形相對數(shù)據(jù)，可服務(wù)于后期其他動力學(xué)計算。

總結(jié)與說明：

模態(tài)分析需要結(jié)構(gòu)具有較為均勻的網(wǎng)格尺寸；隨著模型網(wǎng)格單元的數(shù)目增多，可計算的模態(tài)階數(shù)也增多，需要選擇合適的模態(tài)計算階數(shù)，往往前幾階頻率是工程應(yīng)用中比較關(guān)注的；模態(tài)階數(shù)的選擇，一般要求參與計算的各模態(tài)等效質(zhì)量大于整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量的95%；

模態(tài)計算中，一般應(yīng)把結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)系統(tǒng)中的三個方向的模態(tài)計算出來；

模態(tài)計算用于計算頻率與當(dāng)前頻率下的結(jié)構(gòu)振型，變形與應(yīng)力結(jié)果僅僅作為振型的參考，不可直接應(yīng)用于強度與剛度計算；

模態(tài)計算中，材料屬性除了楊氏模量等剛度參數(shù)，必須包括質(zhì)量參數(shù)，比如密度或者質(zhì)量；模態(tài)計算得到的頻率可作為結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振的參考，具體的共振效應(yīng)分析需要結(jié)合其他分析過程；

模態(tài)計算中，應(yīng)建立合適的計算模型，確定要計算局部模態(tài)還是整體模態(tài)。

模態(tài)分析思路與步驟：

1.確定分析需求，建立合適的計算模型，合理優(yōu)化3D模型，去除干涉的設(shè)計和圓角結(jié)構(gòu)，根據(jù)產(chǎn)品實際重量增加配重；

2.賦予各個零部件材料屬性（楊氏模量、密度、泊松比），接觸面設(shè)置，網(wǎng)格劃分

3.邊界條件設(shè)置，產(chǎn)品裝配固定位置設(shè)置好約束；

4.分析結(jié)果

如何避免共振

共振是一種現(xiàn)象，指系統(tǒng)受到外界激勵頻率與系統(tǒng)固有振動頻率相等或接近時，系統(tǒng)產(chǎn)生大幅度劇烈的振動，甚至導(dǎo)致不可預(yù)料的行為。共振產(chǎn)生時的頻率稱為共振頻率，注意共振頻率不等于固有頻率。共振頻率是外界激勵頻率，固有頻率是結(jié)構(gòu)固有屬性。共振不一定只發(fā)生在單一固有頻率處，往往發(fā)生在具有一定頻率范圍內(nèi)的共振帶中。

可以利用模態(tài)分析獲得固有頻率，與激勵頻率進(jìn)行對比，找出設(shè)計中的薄弱部分。理論上改變質(zhì)量和剛度可以改變固有頻率，避免共振。

共振頻率可以理解成固有頻率浮動范圍內(nèi)的頻率段。在接近固有頻率時產(chǎn)生共振現(xiàn)象，對于“接近”該如何理解呢？或者說共振的頻率段一般在固定頻率附近多寬的區(qū)間呢？

算法上一般共振帶取共有頻率的40%，比如某模型激勵頻率為400Hz，則共振帶為240Hz-560Hz。

很多情況下，要考慮40%以上的頻率間隔，似乎是不現(xiàn)實的，因此，很難給出一定具體的數(shù)字來確定到底應(yīng)該須離固有頻率多遠(yuǎn)的距離。但是，也有一些行業(yè)普遍認(rèn)同的觀點，如在汽車行業(yè)，一般要求是距固有頻率有3，4Hz的間隔或者15-20%的距離。如B級車白車身第一階模態(tài)在30Hz附近，15%的頻率間隔，則對應(yīng)4.5Hz，跟3、4Hz的間離也非常接近。

審核編輯：劉清