人類(lèi)駕駛員在道路上開(kāi)車(chē)的時(shí)候，沒(méi)有人會(huì)去基于當(dāng)前距離出點(diǎn)的橫向和縱向距離是多少，而去決定下一步的方向盤(pán)轉(zhuǎn)角大小。通常情況，我們只會(huì)關(guān)注車(chē)輛當(dāng)前距離左右車(chē)道線的距離，來(lái)判斷是否偏離車(chē)道，是否需要打方向盤(pán)進(jìn)行方向微調(diào)。

自動(dòng)駕駛運(yùn)動(dòng)規(guī)劃也在效仿這一過(guò)程，而為了讓這一過(guò)程得以實(shí)施，2010年，BMW的Moritz Werling在2010年的論文《Optimal Trajectory Generation for Dynamic Street Scenarios in a Frene′t Frame》中提出了Frenet坐標(biāo)系。

沒(méi)錯(cuò)，還是國(guó)外人發(fā)明，我們整天鼓吹自動(dòng)駕駛第一大國(guó)，但看看自動(dòng)駕駛常用的基礎(chǔ)理論、經(jīng)典架構(gòu)、基礎(chǔ)軟件、經(jīng)典算法……，有多少是我們的發(fā)明創(chuàng)造！每個(gè)場(chǎng)景都炒一波自動(dòng)駕駛概念，每個(gè)概念都拉一波融資，每一波融資都用來(lái)重復(fù)造輪子……。大而不強(qiáng)，是自動(dòng)駕駛繼承自汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的頑疾。

Frenet坐標(biāo)下的出現(xiàn)，讓規(guī)劃、控制有了方向，但也從此開(kāi)啟了自動(dòng)駕駛?cè)f國(guó)混戰(zhàn)的源頭。

01Frenet坐標(biāo)系的定義

Frenet坐標(biāo)系的建立基于一個(gè)參考線，這個(gè)參考線可以是任意曲線，但在自動(dòng)駕駛運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中一般定義為道路的中心線，這條中心線是地圖模塊輸入過(guò)來(lái)的一系列離散點(diǎn)。同時(shí)使用參考線的切線向量和法線向量建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，如圖1所示，這個(gè)坐標(biāo)系就是Frenet坐標(biāo)系。

圖1 Frenet坐標(biāo)系示意圖

某一時(shí)刻，假設(shè)車(chē)輛質(zhì)心在全局笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x，y），車(chē)輛質(zhì)心到參考線上的投影點(diǎn)稱(chēng)為原點(diǎn)，原點(diǎn)切線方向稱(chēng)為s軸方向或縱軸方向，原點(diǎn)法線方向稱(chēng)為d軸方向或橫軸方向。縱坐標(biāo)s值指的是參考線上的原點(diǎn)與起點(diǎn)之間曲線的長(zhǎng)度，也就是車(chē)輛在道路上的縱向行駛距離。橫坐標(biāo)d值指的是原點(diǎn)與車(chē)輛質(zhì)心之間的距離，也就是車(chē)輛偏離道路中心線的距離。車(chē)輛質(zhì)心隨著時(shí)間在不斷變化，因此Frenet坐標(biāo)系的原點(diǎn)也在不斷變換，所以Frenet坐標(biāo)系是一個(gè)移動(dòng)坐標(biāo)系。

02為什么使用Frenet坐標(biāo)系

（一）道路表達(dá)直觀

假設(shè)現(xiàn)在我們知道笛卡爾坐標(biāo)系下車(chē)輛的位置為（x，y），在道路通常都有一定曲率的背景下，從這個(gè)坐標(biāo)中我們無(wú)法得知道路在哪里，也不知道車(chē)輛行駛了多遠(yuǎn)，更難以確定它是否偏離車(chē)道中心。當(dāng)然我們可以從輸入的高精地圖數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算獲得上述數(shù)據(jù)，但是計(jì)算量太大，因此用笛卡爾坐標(biāo)系描述道路會(huì)非常復(fù)雜。

而在Frenet坐標(biāo)系中，橫軸和縱軸相互垂直且原點(diǎn)所在參考線與車(chē)道中心線平行，容易確定車(chē)輛偏離車(chē)道中心線的距離以及車(chē)輛沿車(chē)道中心線的行駛距離。因此使用Frenet坐標(biāo)系可以忽略道路曲率的影響，讓道路表達(dá)更加直觀、簡(jiǎn)潔。

（二）簡(jiǎn)化路徑規(guī)劃問(wèn)題

運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是為了獲得車(chē)輛在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)具有前瞻性的行駛軌跡，這個(gè)軌跡是一種由二維空間和一維時(shí)間組成的三維空間中的曲線。

在笛卡爾坐標(biāo)系下，整車(chē)的橫向運(yùn)動(dòng)、縱向運(yùn)動(dòng)耦合在一起，想要計(jì)算清楚兩者的關(guān)系還是需要費(fèi)一番苦力的。而在Frenet坐標(biāo)系中，距離參考線的位置可以使用縱向距離s和橫向距離d分別表示，而通過(guò)對(duì)時(shí)間分別求導(dǎo)，又可以得到縱向運(yùn)動(dòng)速度和橫向運(yùn)動(dòng)速度。

車(chē)輛的二維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在Frenet坐標(biāo)系下被解耦成兩個(gè)一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，而一維優(yōu)化問(wèn)題要比二維優(yōu)化問(wèn)題更容易容易求解。因此相比于笛卡爾坐標(biāo)系，F(xiàn)renet坐標(biāo)系可以明顯地簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題，這就是運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為Frenet坐標(biāo)系的必要性。

下面我們用一個(gè)例子來(lái)解釋Frenet坐標(biāo)系的這種降維作用。假設(shè)行為決策層判斷前方有低速行駛的車(chē)輛，隨后在t0時(shí)刻做出了一個(gè)在t1時(shí)刻完成變道的決策。即車(chē)輛需要在Δt=（t1-t0）時(shí)間內(nèi)，橫向上需要完成一個(gè)Δd以及縱向上完成一個(gè)Δs的移動(dòng)。如圖2所示，我們可以將s和d分別表示為關(guān)于t的函數(shù)：s（t）和d（t），這樣二維運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題被分割成了兩個(gè)獨(dú)立的一維優(yōu)化問(wèn)題。

圖2 Frenet坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)規(guī)劃示例

03Frenet坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

要使用Frenet坐標(biāo)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，就需要將笛卡爾坐標(biāo)系下的車(chē)輛狀態(tài)轉(zhuǎn)化為Frenet坐標(biāo)系下的狀態(tài)。由于公式太多，只能采用圖片方式呈現(xiàn)后續(xù)內(nèi)容。

圖3 Frenet坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系下的狀態(tài)表示

基于Frenet坐標(biāo)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，將輸出單獨(dú)的橫、縱向軌跡，而最終輸出到自動(dòng)駕駛車(chē)輛參考運(yùn)動(dòng)軌跡需要可直接被控制模塊所應(yīng)用，因此最后還需要把Frenet坐標(biāo)系下得到的軌跡轉(zhuǎn)化到一個(gè)全局笛卡爾坐標(biāo)系中。逆過(guò)程過(guò)于簡(jiǎn)單，下面直接給出結(jié)論。

04寫(xiě)在最后

Frenet坐標(biāo)系的熟練掌握，應(yīng)該是規(guī)劃控制入門(mén)的第一課，也是開(kāi)啟你自動(dòng)駕駛混亂時(shí)代的第一課。

審核編輯 ：李倩