在選取Q和R時，主要從以下幾方面考慮：

　　(1)Q是正定或半正定矩陣，R是正定矩陣。

　　(2)Q陣中對角線上的元素與狀態(tài)變量一一對應(yīng)，數(shù)值越大，則表示該狀態(tài)變量對系統(tǒng)的影響越顯著。

　　(3)加權(quán)矩陣R不要過小，否則會導(dǎo)致控制量的增大。控制量太大會超過系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，R陣也不要太大，否則控制作用太小會影響控制性能。

　　綜合以上考慮，取Q=diag([100，100，100，100])，R=1，利用Matlab提供的LQR函數(shù)，可得控制器的增益矩陣：

　　K=[-10.000 0 -24.140 8 250.036 0 158.553 3]

　　3.3 利用遺傳算法優(yōu)化Q陣

　　遺傳算法是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機(jī)制的隨機(jī)搜索算法，它模擬了生物界中的生命進(jìn)化機(jī)制，并用在人工系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)的優(yōu)化。

　　采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣Q的具體步驟如下：

　　(1)選擇編碼策略，把參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體結(jié)構(gòu)空間。

　　(2)確定解碼方法。

　　(3)確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的類型及數(shù)學(xué)描述形式，在LQR最優(yōu)控制中取目標(biāo)函數(shù)J，J=trace(P)。

　　(4)設(shè)計遺傳算子。

　　(5)確定遺傳策略。設(shè)群體大小為80，最大迭代次數(shù)為200，交叉概率選為0.9，變異概率選為0.01，并隨機(jī)產(chǎn)生初始群體。

　　(6)計算群體中的個體或染色體解碼后的適應(yīng)值。在本設(shè)計中將適應(yīng)值取為目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù)，即f=1/J。

　　(7)進(jìn)行遺傳算法搜索過程，即采用隨機(jī)采樣的方法選擇個體，通過交叉和變異產(chǎn)生新個體，再計算新個體的目標(biāo)函數(shù)值J’。

　　(8)判斷群體性能是否滿足指標(biāo)或者是否完成迭代次數(shù)，若不滿足則重復(fù)步驟(7)。

　　通過上述算法即可確定使目標(biāo)函數(shù)值最小加權(quán)矩陣Q中待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量K。

　　4 仿真結(jié)果及分析

　　取Q=diag([100，100，100，100])，R=1時，得到的一級倒立擺仿真波形如圖3所示。由圖可見，小車經(jīng)過5.2 s達(dá)到平衡，而擺角經(jīng)過6.5 s達(dá)到平衡。對Q陣優(yōu)化后系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量減少，響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)時間減少，系統(tǒng)的靜態(tài)特性和動態(tài)特性都得到改善，如圖4所示。

　　5 結(jié)語

　　本文利用拉格朗日方程建立了直線一級倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)的性能，并利用LQR控制器進(jìn)行控制。結(jié)果表明，LQR控制器對該系統(tǒng)具有良好的控制作用。