今天，來自 Veryst 工程公司的 Nagi Elabbasi 將作為客座博主和認證咨詢機構顧問與我們一起分享有關優化聲子晶體帶隙設計的仿真研究。

聲子晶體是一種相當獨特的材料，它可設計出特殊的帶隙。隨著對此類材料需求的不斷提高，人們對聲子晶體仿真研究產生了濃厚的興趣，針對帶隙的優化是其中最熱門的課題。本文將為您展示如何使用 COMSOL Multiphysics 這一可靠工具進行此類研究。

聲子晶體是什么？

聲子晶體是一種人工制造的結構或材料，可對其周期性結構或幾何屬性進行設計，以此影響機械波的傳播特性。設計制造聲子晶體時，人們能夠在特定的頻率范圍內隔離振動。特定頻率范圍內，也稱為帶隙，帶隙內的振動會因受到周期性結構內波干涉的影響而衰減。這一行為與一種更廣為人知的納米結構相似，這一納米結構便是半導體應用中光子晶體。

優化聲子晶體帶隙是一項具有挑戰性的任務。我們 Veryst 工程公司的研究人員發現 COMSOL Multiphysics 正是處理這類難題的寶貴工具。

建立聲子帶隙分析

要在周期性結構中創建帶隙，一種方法是使用由堅硬的內核材料與柔軟的外部基體材料構成的晶胞。其構型如下圖所示。

晶胞示意圖。晶胞由堅硬的內核材料與柔軟的外部基體材料構成。

對聲子晶體的頻率響應進行計算，僅僅需要對周期性晶胞進行分析，及利用覆蓋一定波矢范圍的布洛赫周期性邊界條件。相對較小范圍的波矢即可覆蓋所謂的不可約布里淵區（irreducible Brillouin zone，簡稱 IBZ）的邊緣。在二維矩形結構中，IBZ（下圖所示）從 Γ 沿著 X、M 后回到 Γ。

二維正方形周期性結構中的不可約布里淵區。

布洛赫邊界條件（一維時又稱 Floquet 周期性邊界條件）可約束周期性結構的邊界位移，表達式如下：

其中kF表示波矢。源端和目標端分別在晶胞的左右邊緣和上下邊緣各應用一次。此類型的邊界條件可在 COMSOL Multiphysics 中獲得。由于邊界條件的性質，我們需要一個復雜的特征值求解。系統方程組屬于厄密特矩陣，得出的特征值為實數，也就是假定模型是無阻尼的。COMSOL 軟件能夠自動運行計算，這一步驟因此變得輕松簡單。

我們對特征值求解分析作參數化掃描，其中一個參數k的范圍為 0 到 3。這里，0 到 1 定義為覆蓋不可約布里淵區 Γ-X 邊緣的波數，1 到 2 定義 為覆蓋 X-M 邊緣的波數，2 到 3 則定義為 M-Γ 邊緣的波數。對于每一個參數，我們將求解最低價本征頻率，然后繪制每一個k值時波的傳播頻率。繪圖中的帶隙代表其中不存在波傳播的區域。暫且不論復雜的晶胞模型，完成分析只需幾分鐘時間。由此可以總結，如果你以特定的帶隙位置為目標，或者想要使帶隙寬度最大化，那么使用晶胞是一種高效的優化手段。

執行優化研究

為了清晰闡釋這類應用，我們對上圖的周期性結構進行了模擬，晶胞尺寸為 1 cm × 1 cm，內核材料為 4 mm × 4 mm；基體材料的模量為 2 GPa，密度為 1000 kg/m3；內核材料的模量則為 200 GPa，密度為 8000 kg/m3。下圖顯示 60 kHz和 72 kHz 之間禁止波傳播的頻率范圍。

選定晶胞參數的頻帶示意圖。

為了演示如何利用帶隙概念實現隔振，我們將模擬上述周期性結構中的晶胞組成的“11 × 11”的晶格結構。這些晶胞承受的激勵頻率為 67.5 kHz（帶隙中）。

該結構用于演示帶隙中針對施加頻率的隔振。

下方動畫重點演示了晶胞結構的振動響應。通過結果，我們可以了解到周期性結構能夠十分有效地將施加的振動與剩余結構隔離開。即使減少周期性晶胞的使用數量，仍然可以很有效地隔振。

率為 67.5 kHz 時,振動響應的動畫。

請注意，當頻率在帶隙之外時，周期性結構不會隔振。此時的響應情況請參考下圖。

帶隙之外頻率的振動響應。左圖：27 kHz。右圖：88 kHz。