本文將首先簡要概述支持向量機及其訓練和推理方程，然后將其轉換為代碼以開發支持向量機模型。之后然后將其擴展成多分類的場景，并通過使用Sci-kit Learn測試我們的模型來結束。

SVM概述

支持向量機的目標是擬合獲得最大邊緣的超平面(兩個類中最近點的距離)。可以直觀地表明，這樣的超平面(A)比沒有最大化邊際的超平面(B)具有更好的泛化特性和對噪聲的魯棒性。

為了實現這一點，SVM通過求解以下優化問題找到超平面的W和b:

它試圖找到W,b，使最近點的距離最大化，并正確分類所有內容(如y取±1的約束)。這可以被證明相當于以下優化問題:

可以寫出等價的對偶優化問題

這個問題的解決方案產生了一個拉格朗日乘數，我們假設數據集中的每個點的大小為m:(α 1， α 2，…，α _n)。目標函數在α中明顯是二次的，約束是線性的，這意味著它可以很容易地用二次規劃求解。一旦找到解，由對偶的推導可知:

注意，只有具有α>0的點才定義超平面(對和有貢獻)。這些被稱為支持向量。因此當給定一個新例子x時，返回其預測y=±1的預測方程為:

這種支持向量機的基本形式被稱為硬邊界支持向量機（hard margin SVM），因為它解決的優化問題(如上所述)強制要求訓練中的所有點必須被正確分類。但在實際場景中，可能存在一些噪聲，阻止或限制了完美分離數據的超平面，在這種情況下，優化問題將不返回或返回一個糟糕的解決方案。

軟邊界支持向量機（soft margin SVM）通過引入C常數(用戶給定的超參數)來適應優化問題，該常數控制它應該有多“硬”。特別地，它將原優化問題修改為:

它允許每個點產生一些錯誤λ(例如，在超平面的錯誤一側)，并且通過將它們在目標函數中的總和加權C來減少它們。當C趨于無窮時(一般情況下肯定不會)，它就等于硬邊界。與此同時，較小的C將允許更多的“違規行為”(以換取更大的支持;例如，更小的w (w)。

可以證明，等價對偶問題只有在約束每個點的α≤C時才會發生變化。

由于允許違例，支持向量(帶有α>0的點)不再都在邊界的邊緣。任何錯誤的支持向量都具有α=C，而非支持向量(α=0)不能發生錯誤。我們稱潛在錯誤(α=C)的支持向量為“非錯誤編劇支持向量”和其他純粹的支持向量(沒有違規;“邊界支持向量”(0<α

這樣推理方程不變:

現在(x?，y?)必須是一個沒有違規的支持向量，因為方程假設它在邊界的邊緣。

軟邊界支持向量機擴展了硬邊界支持向量機來處理噪聲，但通常由于噪聲以外的因素，例如自然非線性，數據不能被超平面分離。軟邊界支持向量機可以用于這樣的情況，但是最優解決方案的超平面，它允許的誤差遠遠超過現實中可以容忍的誤差。

例如，在左邊的例子中，無論C的設置如何，軟邊界支持向量機都找不到線性超平面。但是可以通過某種轉換函數z=Φ(x)將數據集中的每個點x映射到更高的維度，從而使數據在新的高維空間中更加線性(或完全線性)。這相當于用z替換x得到:

在現實中，特別是當Φ轉換為非常高維的空間時，計算z可能需要很長時間。所以就出現了核函數。它用一個數學函數(稱為核函數)的等效計算來取代z，并且更快(例如，對z進行代數簡化)。例如，這里有一些流行的核函數(每個都對應于一些轉換Φ到更高維度空間):

這樣，對偶優化問題就變成:

直觀地，推理方程(經過代數處理后)為:

上面所有方程的完整推導，有很多相關的文章了，我們就不詳細介紹了。

Python實現

對于實現，我們將使用下面這些庫：

import numpy as np                  # for basic operations over arrays
 from scipy.spatial import distance  # to compute the Gaussian kernel
 import cvxopt                       # to solve the dual opt. problem
 import copy                         # to copy numpy arrays

定義核和SVM超參數，我們將實現常見的三個核函數：

class SVM:
     linear = lambda x, x? , c=0: x @ x?.T
     polynomial = lambda x, x? , Q=5: (1 + x @ x?.T)**Q
     rbf = lambda x, x?, γ=10: np.exp(-γ*distance.cdist(x, x?,'sqeuclidean'))
     kernel_funs = {'linear': linear, 'polynomial': polynomial, 'rbf': rbf}

為了與其他核保持一致，線性核采用了一個額外的無用的超參數。kernel_funs接受核函數名稱的字符串，并返回相應的內核函數。

繼續定義構造函數:

class SVM:
     linear = lambda x, x? , c=0: x @ x?.T
     polynomial = lambda x, x? , Q=5: (1 + x @ x?.T)**Q
     rbf = lambda x, x?, γ=10: np.exp(-γ*distance.cdist(x, x?,'sqeuclidean'))
     kernel_funs = {'linear': linear, 'polynomial': polynomial, 'rbf': rbf}
     
     def __init__(self, kernel='rbf', C=1, k=2):
         # set the hyperparameters
         self.kernel_str = kernel
         self.kernel = SVM.kernel_funs[kernel]
         self.C = C                  # regularization parameter
         self.k = k                  # kernel parameter
         
         # training data and support vectors (set later)
         self.X, y = None, None
         self.αs = None
         
         # for multi-class classification (set later)
         self.multiclass = False
         self.clfs = []

SVM有三個主要的超參數，核(我們存儲給定的字符串和相應的核函數)，正則化參數C和核超參數(傳遞給核函數);它表示多項式核的Q和RBF核的γ。

為了兼容sklearn的形式，我們需要使用fit和predict函數來擴展這個類，定義以下函數，并在稍后將其用作裝飾器:

SVMClass = lambda func: setattr(SVM, func.__name__, func) or func

擬合SVM對應于通過求解對偶優化問題找到每個點的支持向量α:

設α為可變列向量(α?α?…α _n);y為標簽(y?α?…y_N)常數列向量;K為常數矩陣，其中K[n,m]計算核在(x, x)處的值。點積、外積和二次型分別基于索引的等價表達式:

可以將對偶優化問題寫成矩陣形式如下:

這是一個二次規劃，CVXOPT的文檔中解釋如下:

可以只使用(P,q)或(P,q,G,h)或(P,q,G,h, A, b)等等來調用它(任何未給出的都將由默認值設置，例如1)。

對于(P, q, G, h, A, b)的值，我們的例子可以做以下比較:

為了便于比較，將第一個重寫如下:

現在很明顯(0≤α等價于-α≤0):

我們就可以寫出如下的fit函數:

@SVMClass
 def fit(self, X, y, eval_train=False):
     # if more than two unique labels, call the multiclass version
     if len(np.unique(y)) > 2:
         self.multiclass = True
         return self.multi_fit(X, y, eval_train)
     
     # if labels given in {0,1} change it to {-1,1}
     if set(np.unique(y)) == {0, 1}: y[y == 0] = -1
 
     # ensure y is a Nx1 column vector (needed by CVXOPT)
     self.y = y.reshape(-1, 1).astype(np.double) # Has to be a column vector
     self.X = X
     N = X.shape[0]  # Number of points
     
     # compute the kernel over all possible pairs of (x, x') in the data
     # by Numpy's vectorization this yields the matrix K
     self.K = self.kernel(X, X, self.k)
     
     ### Set up optimization parameters
     # For 1/2 x^T P x + q^T x
     P = cvxopt.matrix(self.y @ self.y.T * self.K)
     q = cvxopt.matrix(-np.ones((N, 1)))
     
     # For Ax = b
     A = cvxopt.matrix(self.y.T)
     b = cvxopt.matrix(np.zeros(1))
 
     # For Gx <= h
     G = cvxopt.matrix(np.vstack((-np.identity(N),
                                  np.identity(N))))
     h = cvxopt.matrix(np.vstack((np.zeros((N,1)),
                                  np.ones((N,1)) * self.C)))
 
     # Solve    
     cvxopt.solvers.options['show_progress'] = False
     sol = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)
     self.αs = np.array(sol["x"])            # our solution
         
     # a Boolean array that flags points which are support vectors
     self.is_sv = ((self.αs-1e-3 > 0)&(self.αs <= self.C)).squeeze()
     # an index of some margin support vector
     self.margin_sv = np.argmax((0 < self.αs-1e-3)&(self.αs < self.C-1e-3))
     
     if eval_train:  
       print(f"Finished training with accuracy{self.evaluate(X, y)}")

我們確保這是一個二進制問題，并且二進制標簽按照支持向量機(±1)的假設設置，并且y是一個維數為(N,1)的列向量。然后求解求解(α?α?…α _n) 的優化問題。

使用(α?α?…α _n) _來獲得在與支持向量對應的任何索引處為1的標志數組，然后可以通過僅對支持向量和(x?，y?)的邊界支持向量的索引求和來應用預測方程。我們確實假設非支持向量可能不完全具有α=0，如果它的α≤1e-3，那么這是近似為零(CVXOPT結果可能不是最終精確的)。同樣假設非邊際支持向量可能不完全具有α=C。

下面就是預測的方法，預測方程為:

@SVMClass
 def predict(self, X_t):
     if self.multiclass: return self.multi_predict(X_t)
     # compute (x?, y?)
     x?, y? = self.X[self.margin_sv, np.newaxis], self.y[self.margin_sv]
     # find support vectors
     αs, y, X= self.αs[self.is_sv], self.y[self.is_sv], self.X[self.is_sv]
     # compute the second term
     b = y? - np.sum(αs * y * self.kernel(X, x?, self.k), axis=0)
     # compute the score
     score = np.sum(αs * y * self.kernel(X, X_t, self.k), axis=0) + b
     return np.sign(score).astype(int), score

我們還可以實現一個評估方法來計算精度(在上面的fit中使用)。

@SVMClass
 def evaluate(self, X,y):  
     outputs, _ = self.predict(X)
     accuracy = np.sum(outputs == y) / len(y)
     return round(accuracy, 2)

最后測試我們的完整代碼：

from sklearn.datasets import make_classification
 import numpy as np
 
 # Load the dataset
 np.random.seed(1)
 X, y = make_classification(n_samples=2500, n_features=5, 
                            n_redundant=0, n_informative=5, 
                            n_classes=2,  class_sep=0.3)
 
 # Test Implemented SVM
 svm = SVM(kernel='rbf', k=1)
 svm.fit(X, y, eval_train=True)
 
 y_pred, _ = svm.predict(X)
 print(f"Accuracy: {np.sum(y==y_pred)/y.shape[0]}")  #0.9108
 
 # Test with Scikit
 from sklearn.svm import SVC
 clf = SVC(kernel='rbf', C=1, gamma=1)
 clf.fit(X, y)
 y_pred = clf.predict(X)
 print(f"Accuracy: {sum(y==y_pred)/y.shape[0]}")    #0.9108

多分類SVM

我們都知道SVM的目標是二元分類，如果要將模型推廣到多類則需要為每個類訓練一個二元SVM分類器，然后對每個類進行循環，并將屬于它的點重新標記為+1，并將所有其他類的點重新標記為-1。

當給定k個類時，訓練的結果是k個分類器，其中第i個分類器在數據上進行訓練，第i個分類器被標記為+1，所有其他分類器被標記為-1。

@SVMClass
 def multi_fit(self, X, y, eval_train=False):
     self.k = len(np.unique(y))      # number of classes
     # for each pair of classes
     for i in range(self.k):
         # get the data for the pair
         Xs, Ys = X, copy.copy(y)
         # change the labels to -1 and 1
         Ys[Ys!=i], Ys[Ys==i] = -1, +1
         # fit the classifier
         clf = SVM(kernel=self.kernel_str, C=self.C, k=self.k)
         clf.fit(Xs, Ys)
         # save the classifier
         self.clfs.append(clf)
     if eval_train:  
         print(f"Finished training with accuracy {self.evaluate(X, y)}")

然后，為了對新示例執行預測，我們選擇相應分類器最自信(得分最高)的類。

@SVMClass
 def multi_predict(self, X):
     # get the predictions from all classifiers
     N = X.shape[0]
     preds = np.zeros((N, self.k))
     for i, clf in enumerate(self.clfs):
         _, preds[:, i] = clf.predict(X)
     
     # get the argmax and the corresponding score
     return np.argmax(preds, axis=1), np.max(preds, axis=1)

完整測試代碼：

from sklearn.datasets import make_classification
 import numpy as np
 
 # Load the dataset
 np.random.seed(1)
 X, y = make_classification(n_samples=500, n_features=2, 
                            n_redundant=0, n_informative=2, 
                            n_classes=4, n_clusters_per_class=1,  
                            class_sep=0.3)
 
 # Test SVM
 svm = SVM(kernel='rbf', k=4)
 svm.fit(X, y, eval_train=True)
 
 y_pred = svm.predict(X)
 print(f"Accuracy: {np.sum(y==y_pred)/y.shape[0]}") # 0.65
 
 # Test with Scikit
 from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifier
 from sklearn.svm import SVC
 
 clf = OneVsRestClassifier(SVC(kernel='rbf', C=1, gamma=4)).fit(X, y)
 y_pred = clf.predict(X)
 print(f"Accuracy: {sum(y==y_pred)/y.shape[0]}")    # 0.65

繪制每個決策區域的圖示，得到以下圖:

可以看到，我們的實現與Sci-kit Learn結果相當，說明在算法實現上沒有問題。注意：SVM默認支持OVR(沒有如上所示的顯式調用)，它是特定于SVM的進一步優化。

總結

我們使用Python實現了支持向量機(SVM)學習算法，并且包括了軟邊界和常用的三個核函數。我們還將SVM擴展到多分類的場景，并使用Sci-kit Learn驗證了我們的實現。希望通過本文你可以更好的了解SVM。