開環(huán)/閉環(huán)函數(shù)波特圖的關(guān)系

為簡化問題，以單位負(fù)反饋系統(tǒng)為例說明。環(huán)路，loop gain，也就是我們常說的"開環(huán)傳遞函數(shù)"就是G，整體的閉環(huán)傳遞函數(shù)就是T。

在工程習(xí)慣中，G會被直接用來做loop gain環(huán)路分析，觀察其穿越頻率ωc，增益相位裕度GM，PM；而T在基于頻域設(shè)計的方法論中，很少被直接關(guān)注，但T才是最直接反應(yīng)閉環(huán)后，輸入輸出對應(yīng)頻率特性的。

通過開環(huán)函數(shù)G的波特圖直接設(shè)計系統(tǒng)性能，其實是以G間接預(yù)估閉環(huán)函數(shù)T的頻率特性，從而完成對T的設(shè)計。

（此處概念混淆，以及不清楚為何引入開環(huán)傳遞函數(shù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的讀者，請自行復(fù)習(xí)“自動控制原理”課本中關(guān)于穩(wěn)定性和頻率特性的章節(jié)）

以典型一階和二階系統(tǒng)展示G和T的關(guān)系：

• 結(jié)論：

  1. G的增益超過0dB(增益大于1)的低頻段，由于T=G/(1+G) （注意是復(fù)數(shù)計算） ，T的增益會接近1(0dB)；越低頻增益越高，T的增益約接近1(0dB)，越能對低頻信號實現(xiàn)無誤差地跟蹤。

  2. 0dB以下的高頻段，G的增益越低，那么T對應(yīng)的增益也會越低。

  3. G的相位體現(xiàn)在 T=G/(1+G) 的復(fù)數(shù)計算中，相位偏移較多時，有可能在T的該頻段造成諧振峰.

穿越頻率和帶寬的關(guān)系

回顧定義如下：

• 開環(huán)截止頻率ωc也稱為穿越頻率(crossover frequency)，是開環(huán)G幅頻特性曲線穿越0dB（增益=1）時，對應(yīng)的頻率；
• 閉環(huán)截止頻率ωb也稱為帶寬頻率(bandwidth)，是閉環(huán)T幅頻特性下降到-3dB（增益=1/根號2）時，對應(yīng)的頻率。

那么兩者的關(guān)系，推導(dǎo)如下：（注意在帶寬ωb附近，一般的控制系統(tǒng)都有積分環(huán)節(jié)存在（如PI），G的相角在-90°-180°，故G中α(ωb)<0成立）

• 結(jié)論：

穩(wěn)定的負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率和閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬很接近，存在ωb>ωc且有同向性。工程上近似時，時常把兩者直接混用。

帶寬和動態(tài)： 窺一斑，能否見全豹？

由閉環(huán)系統(tǒng)T的帶寬推測動態(tài)性能最為直觀：帶寬越高，越多頻率分量的信號放大增益在-3dB以上，可以被有效跟蹤，因此動態(tài)性能越好。但是，尤其注意以下：

• 結(jié)論：

穿越頻率/帶寬描述的僅僅是頻域上一個點的信息，是“窺一斑而見全豹”的做法， 僅可當(dāng)作指導(dǎo)性的規(guī)律揭示， 并不能直接用于比較兩個系統(tǒng)的動態(tài)！

動態(tài)響應(yīng)由全頻率段的幅頻/相頻特性共同決定。

給出如下例子，讓我們加深對帶寬和動態(tài)關(guān)系的理解。

• 例子1： 帶寬小的 系統(tǒng)1 ，動態(tài)反而快于帶寬大的 系統(tǒng)2 ！！！

究其原因，正是因為恰在帶寬附近的頻段，系統(tǒng)2的增益高于系統(tǒng)1，但在其他頻段，系統(tǒng)1的增益均高于系統(tǒng)2。

• 例子2：相同的帶寬和低頻增益，導(dǎo)致從0到1的建立時間近似相同，但由于高頻增益不同，動態(tài)響應(yīng)的速度完全不同（期間的凹凸特性）：

• 例子3：相同的帶寬和高頻增益，但由于低頻增益諧振峰的不同，動態(tài)響應(yīng)的速度完全不同（包括超調(diào)）：

那么，“帶寬越大，動態(tài)越快” 這個結(jié)論是怎么來的？

• 例子4：相同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（頻率特性的全局分布一致），帶寬越高，動態(tài)越快：

可以看到，當(dāng)且僅當(dāng)你要做比較的若干個系統(tǒng)，其有相同（或相近）的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，也即頻率特性的全局分布一致（或類似）時，才有老生常談的這句經(jīng)典傳說，被奉為圭臬。

當(dāng)設(shè)計環(huán)路的補(bǔ)償器時，我們在盡可能提高帶寬的同時，不可能再刻意壓低其他部分頻段的增益，因此，用這句話作指導(dǎo)性的設(shè)計方向仍然是有意義的。