相平面法

前言

非線性系統(tǒng)的相平面法是一種分析和研究非線性系統(tǒng)動力學(xué)行為的方法。相平面法通過將系統(tǒng)的狀態(tài)變量表示為二維平面上的軌跡，來揭示非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期性、吸引子等特性。

對于非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)變量的演化不再遵循簡單的線性關(guān)系。相平面法的基本思想是將非線性系統(tǒng)的動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成一組一階微分方程，并將其表示為相平面上的向量場。這樣，系統(tǒng)的狀態(tài)變量就可以在相平面上以軌跡的形式展示。

通過相平面法，可以觀察到系統(tǒng)在相平面上的軌跡的形狀和特性，從而推斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和行為。常見的特性包括平衡點（穩(wěn)定點）、極限環(huán)、吸引子等。通過分析軌跡的形狀、軌跡的相交點以及軌跡的變化趨勢，可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期性或者混沌行為。

相平面法也存在一些缺點需要考慮：

1. 限于二維系統(tǒng)：相平面法只適用于二維系統(tǒng)，對于高維系統(tǒng)無法直接應(yīng)用。在高維系統(tǒng)中，相平面法無法提供完整的動力學(xué)行為描述，因為它無法展示高維空間中的復(fù)雜軌跡。
2. 無法精確解析求解：相平面法主要是基于圖形觀察和分析，而不是通過解析計算得到精確解。因此，特別是對于非線性系統(tǒng)和復(fù)雜的微分方程，相平面法無法提供準(zhǔn)確的定量信息。
3. 可視化有限：相平面法能夠提供關(guān)于系統(tǒng)行為的直觀圖像，但在大規(guī)模系統(tǒng)或長時間尺度上，圖像可能變得復(fù)雜且難以解釋。對于復(fù)雜的相軌跡和相平面，僅憑人眼可能無法完全捕捉到細(xì)微的變化和行為特征。
4. 不能涵蓋所有情況：相平面法主要用于研究振蕩、穩(wěn)定性和周期性等特定系統(tǒng)行為。對于其他類型的非線性動力學(xué)行為，如混沌行為，相平面法可能無法提供全面的理解。
5. 對數(shù)值求解的依賴：在實際應(yīng)用中，相平面法通常依賴于數(shù)值計算和數(shù)值模擬。這涉及到選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，并且對數(shù)值誤差和數(shù)值穩(wěn)定性要有充分的認(rèn)識。

相平面

奇點

平衡點是使系統(tǒng)永久停駐的點，即

非線性系統(tǒng)的相平面分析

在奇點附近，相軌跡的特征與線性系統(tǒng)比較接近，因此可以通過進行非線性系統(tǒng)的線性化，然后進行分析。常用的方法是利用泰勒公式進行展開。泰勒公式是一個關(guān)于函數(shù)在某點附近的展開式，通過展開可以將非線性函數(shù)近似為線性函數(shù)，從而方便進行局部分析。

極限環(huán)

奇線是相軌跡中的特殊情況，將相平面劃分為具有不同運動特性的區(qū)域。最常見的奇線是極限環(huán)。非線性系統(tǒng)會出現(xiàn)自振蕩，因此在相平面上會形成一條孤立的曲線，這條曲線附近的相軌跡會逐漸趨向或離開這條曲線，這就是極限環(huán)。

極限環(huán)將相平面分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分，軌跡無法從極限環(huán)內(nèi)部穿過進入外部，反之亦然。這樣就將相平面劃分為具有不同運動特性的區(qū)域，因此，極限環(huán)也是相平面上的分界線，對于確定系統(tǒng)的全部運動狀態(tài)非常重要。

需要指出的是，并非相平面上的所有孤立曲線都是極限環(huán)。在無阻尼的線性二階系統(tǒng)中，由于沒有阻尼造成的能量損耗，相平面圖是一系列連續(xù)的閉合曲線，這些曲線并非極限環(huán)，因為它們不是孤立的，在任何特定閉合曲線的鄰近仍然存在其他的曲線。而極限環(huán)是相互孤立的，在任何極限環(huán)的鄰近不可能有其他的極限環(huán)。極限環(huán)是非線性系統(tǒng)中獨有的現(xiàn)象，它僅在非保守系統(tǒng)中出現(xiàn)。這種周期運動的原因不在于系統(tǒng)無阻尼，而是系統(tǒng)的非線性特性，導(dǎo)致系統(tǒng)能量交替變化，因此可以從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運動。

根據(jù)極限環(huán)附近相軌跡的運動特點，極限環(huán)可分為以下三種類型：

得出平衡點（奇點）

得到奇點類型

繪制相軌跡

根據(jù)奇點的位置和類型，圖中與鞍點（-2，0）相交的兩條相軌跡可稱為奇線，將相平面劃分為兩個區(qū)域：系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域位于相平面圖中的內(nèi)區(qū)域，而不穩(wěn)定區(qū)域位于外區(qū)域。當(dāng)初始條件位于陰影線內(nèi)區(qū)域時，系統(tǒng)的運動將收斂至原點；當(dāng)初始條件位于陰影線外區(qū)域時，系統(tǒng)的運動將發(fā)散至無窮大。該例說明非線性系統(tǒng)的運動及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。

Example3 ：已知帶死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)的微分方程為

確定平衡點

得到奇點類型

得到相軌跡