這是好久之前的一篇文章 [學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的框架思維]的修訂版。之前那篇文章收到廣泛好評(píng)，沒(méi)看過(guò)也沒(méi)關(guān)系，這篇文章會(huì)涵蓋之前的所有內(nèi)容，并且會(huì)舉很多代碼的實(shí)例，談?wù)勅绾问褂每蚣芩季S，并且給對(duì)于算法無(wú)從下手的朋友給一點(diǎn)具體可執(zhí)行的刷題建議。

首先，這里講的都是普通的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法，咱不是搞競(jìng)賽的，野路子出生，只解決常規(guī)的問(wèn)題，以面試為最終目標(biāo)。另外，以下是我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，沒(méi)有哪本算法書會(huì)寫這些東西，所以請(qǐng)讀者試著理解我的角度，別糾結(jié)于細(xì)節(jié)問(wèn)題，因?yàn)檫@篇文章就是對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法建立一個(gè)框架性的認(rèn)識(shí)。

從整體到細(xì)節(jié)，自頂向下，從抽象到具體的框架思維是通用的，不只是學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法，學(xué)習(xí)其他任何知識(shí)都是高效的。

先說(shuō)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，然后再說(shuō)算法。

一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)方式

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)方式只有兩種： 數(shù)組（順序存儲(chǔ)）和鏈表（鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)） 。

這句話怎么理解，不是還有散列表、棧、隊(duì)列、堆、樹、圖等等各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)嗎？

我們分析問(wèn)題，一定要有遞歸的思想，自頂向下，從抽象到具體。你上來(lái)就列出這么多，那些都屬于「上層建筑」，而數(shù)組和鏈表才是「結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)」。因?yàn)槟切┒鄻踊臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，究其源頭，都是在鏈表或者數(shù)組上的特殊操作，API 不同而已。

比如說(shuō) 「隊(duì)列 」 、 「棧」 這兩種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)既可以使用鏈表也可以使用數(shù)組實(shí)現(xiàn)。用數(shù)組實(shí)現(xiàn)，就要處理擴(kuò)容縮容的問(wèn)題；用鏈表實(shí)現(xiàn)，沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題，但需要更多的內(nèi)存空間存儲(chǔ)節(jié)點(diǎn)指針。

「圖」 的兩種表示方法，鄰接表就是鏈表，鄰接矩陣就是二維數(shù)組。鄰接矩陣判斷連通性迅速，并可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算解決一些問(wèn)題，但是如果圖比較稀疏的話很耗費(fèi)空間。鄰接表比較節(jié)省空間，但是很多操作的效率上肯定比不過(guò)鄰接矩陣。

「散列表」 就是通過(guò)散列函數(shù)把鍵映射到一個(gè)大數(shù)組里。而且對(duì)于解決散列沖突的方法，拉鏈法需要鏈表特性，操作簡(jiǎn)單，但需要額外的空間存儲(chǔ)指針；線性探查法就需要數(shù)組特性，以便連續(xù)尋址，不需要指針的存儲(chǔ)空間，但操作稍微復(fù)雜些。

「樹」 ，用數(shù)組實(shí)現(xiàn)就是「堆」，因?yàn)椤付选故且粋€(gè)完全二叉樹，用數(shù)組存儲(chǔ)不需要節(jié)點(diǎn)指針，操作也比較簡(jiǎn)單；用鏈表實(shí)現(xiàn)就是很常見的那種「樹」，因?yàn)椴灰欢ㄊ峭耆鏄洌圆贿m合用數(shù)組存儲(chǔ)。為此，在這種鏈表「樹」結(jié)構(gòu)之上，又衍生出各種巧妙的設(shè)計(jì)，比如二叉搜索樹、AVL 樹、紅黑樹、區(qū)間樹、B 樹等等，以應(yīng)對(duì)不同的問(wèn)題。

了解 Redis 數(shù)據(jù)庫(kù)的朋友可能也知道，Redis 提供列表、字符串、集合等等幾種常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，但是對(duì)于每種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，底層的存儲(chǔ)方式都至少有兩種，以便于根據(jù)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況使用合適的存儲(chǔ)方式。

綜上，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)種類很多，甚至你也可以發(fā)明自己的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，但是底層存儲(chǔ)無(wú)非數(shù)組或者鏈表， 二者的優(yōu)缺點(diǎn)如下 ：

數(shù)組由于是緊湊連續(xù)存儲(chǔ),可以隨機(jī)訪問(wèn)，通過(guò)索引快速找到對(duì)應(yīng)元素，而且相對(duì)節(jié)約存儲(chǔ)空間。但正因?yàn)檫B續(xù)存儲(chǔ)，內(nèi)存空間必須一次性分配夠，所以說(shuō)數(shù)組如果要擴(kuò)容，需要重新分配一塊更大的空間，再把數(shù)據(jù)全部復(fù)制過(guò)去，時(shí)間復(fù)雜度 O(N)；而且你如果想在數(shù)組中間進(jìn)行插入和刪除，每次必須搬移后面的所有數(shù)據(jù)以保持連續(xù)，時(shí)間復(fù)雜度 O(N)。

鏈表因?yàn)樵夭贿B續(xù)，而是靠指針指向下一個(gè)元素的位置，所以不存在數(shù)組的擴(kuò)容問(wèn)題；如果知道某一元素的前驅(qū)和后驅(qū)，操作指針即可刪除該元素或者插入新元素，時(shí)間復(fù)雜度 O(1)。但是正因?yàn)榇鎯?chǔ)空間不連續(xù)，你無(wú)法根據(jù)一個(gè)索引算出對(duì)應(yīng)元素的地址，所以不能隨機(jī)訪問(wèn)；而且由于每個(gè)元素必須存儲(chǔ)指向前后元素位置的指針，會(huì)消耗相對(duì)更多的儲(chǔ)存空間。

二、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本操作

對(duì)于任何數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其基本操作無(wú)非遍歷 + 訪問(wèn)，再具體一點(diǎn)就是：增刪查改。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)種類很多，但它們存在的目的都是在不同的應(yīng)用場(chǎng)景，盡可能高效地增刪查改 。話說(shuō)這不就是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的使命么？

如何遍歷 + 訪問(wèn)？我們?nèi)匀粡淖罡邔觼?lái)看，各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的遍歷 + 訪問(wèn)無(wú)非兩種形式：線性的和非線性的。

線性就是 for/while 迭代為代表，非線性就是遞歸為代表。再具體一步，無(wú)非以下幾種框架：

數(shù)組遍歷框架，典型的線性迭代結(jié)構(gòu)：

void traverse(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        // 迭代訪問(wèn) arr[i]
    }
}

鏈表遍歷框架，兼具迭代和遞歸結(jié)構(gòu)：

/* 基本的單鏈表節(jié)點(diǎn) */
class ListNode {
    int val;
    ListNode next;
}

void traverse(ListNode head) {
    for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {
        // 迭代訪問(wèn) p.val
    }
}

void traverse(ListNode head) {
    // 遞歸訪問(wèn) head.val
    traverse(head.next)
}

二叉樹遍歷框架，典型的非線性遞歸遍歷結(jié)構(gòu)：

/* 基本的二叉樹節(jié)點(diǎn) */
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
}

void traverse(TreeNode root) {
    traverse(root.left)
    traverse(root.right)
}

你看二叉樹的遞歸遍歷方式和鏈表的遞歸遍歷方式，相似不？再看看二叉樹結(jié)構(gòu)和單鏈表結(jié)構(gòu)，相似不？如果再多幾條叉，N 叉樹你會(huì)不會(huì)遍歷？

二叉樹框架可以擴(kuò)展為 N 叉樹的遍歷框架：

/* 基本的 N 叉樹節(jié)點(diǎn) */
class TreeNode {
    int val;
    TreeNode[] children;
}

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.children)
        traverse(child)
}

N 叉樹的遍歷又可以擴(kuò)展為圖的遍歷，因?yàn)閳D就是好幾 N 叉棵樹的結(jié)合體。你說(shuō)圖是可能出現(xiàn)環(huán)的？這個(gè)很好辦，用個(gè)布爾數(shù)組 visited 做標(biāo)記就行了，這里就不寫代碼了。

所謂框架，就是套路。不管增刪查改，這些代碼都是永遠(yuǎn)無(wú)法脫離的結(jié)構(gòu)，你可以把這個(gè)結(jié)構(gòu)作為大綱，根據(jù)具體問(wèn)題在框架上添加代碼就行了，下面會(huì)具體舉例 。

三、算法刷題指南

首先要明確的是， 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是工具，算法是通過(guò)合適的工具解決特定問(wèn)題的方法 。也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)算法之前，最起碼得了解那些常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，了解它們的特性和缺陷。

那么該如何在 LeetCode 刷題呢？之前的文章 [算法學(xué)習(xí)之路]寫過(guò)一些，什么按標(biāo)簽刷，堅(jiān)持下去云云。現(xiàn)在距那篇文章已經(jīng)過(guò)去將近一年了，我不想說(shuō)那些不痛不癢的話了，直接說(shuō)具體的建議：

先刷二叉樹，先刷二叉樹，先刷二叉樹 ！

這是我這刷題的親身體會(huì)，下圖是我從 2018/10 到 2019/10 這一年的心路歷程：

公眾號(hào)文章的閱讀數(shù)據(jù)顯示，大部分人對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關(guān)的算法文章不感興趣，而是更關(guān)心動(dòng)規(guī)回溯分治等等技巧。為什么要先刷二叉樹呢， 因?yàn)槎鏄涫亲钊菀着囵B(yǎng)框架思維的，而且大部分算法技巧，本質(zhì)上都是樹的遍歷問(wèn)題 。

刷二叉樹看到題目沒(méi)思路？根據(jù)很多讀者的問(wèn)題，其實(shí)大家不是沒(méi)思路，只是沒(méi)有理解我們說(shuō)的「框架」是什么。 不要小看這幾行破代碼，幾乎所有二叉樹的題目都是一套這個(gè)框架就出來(lái)了 。

void traverse(TreeNode root) {
    // 前序遍歷
    traverse(root.left)
    // 中序遍歷
    traverse(root.right)
    // 后序遍歷
}

比如說(shuō)我隨便拿幾道題的解法出來(lái)，不用管具體的代碼邏輯，只要看看框架在其中是如何發(fā)揮作用的就行。

LeetCode 124 題，難度 Hard，讓你求二叉樹中最大路徑和，主要代碼如下：

看出來(lái)了嗎，這就是個(gè)后序遍歷嘛。

LeetCode 105 題，難度 Medium，讓你根據(jù)前序遍歷和中序遍歷的結(jié)果還原一棵二叉樹，很經(jīng)典的問(wèn)題吧，主要代碼如下：

不要看這個(gè)函數(shù)的參數(shù)很多，只是為了控制數(shù)組索引而已，本質(zhì)上該算法也就是一個(gè)前序遍歷。

LeetCode 99 題，難度 Hard，恢復(fù)一棵 BST，主要代碼如下：

這不就是個(gè)中序遍歷嘛，對(duì)于一棵 BST 中序遍歷意味著什么，應(yīng)該不需要解釋了吧。

你看，Hard 難度的題目不過(guò)如此，而且還這么有規(guī)律可循，只要把框架寫出來(lái)，然后往相應(yīng)的位置加?xùn)|西就行了，這不就是思路嗎。

剛開始刷二叉樹的題目，前 10 道也許有點(diǎn)難受；結(jié)合框架再做 20 道，也許你就有點(diǎn)自己的理解了；刷完整個(gè)專題，再去做什么回溯動(dòng)規(guī)分治專題，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)只要涉及遞 歸的問(wèn)題，都是樹的問(wèn)題 。

直接舉例吧，說(shuō)幾道我們之前文章寫過(guò)的問(wèn)題。

[動(dòng)態(tài)規(guī)劃詳解]說(shuō)過(guò)湊零錢問(wèn)題，暴力解法就是遍歷一棵 N 叉樹：

def coinChange(coins: List[int], amount: int):

    def dp(n):
        if n == 0: return 0
        if n < 0: return -1

        res = float('INF')
        for coin in coins:
            subproblem = dp(n - coin)
            # 子問(wèn)題無(wú)解，跳過(guò)
            if subproblem == -1: continue
            res = min(res, 1 + subproblem)
        return res if res != float('INF') else -1

    return dp(amount)

這么多代碼看不懂咋辦？直接提取出框架，就能看出核心思路了：

# 不過(guò)是一個(gè) N 叉樹的遍歷問(wèn)題而已
def dp(n):
    for coin in coins:
        dp(n - coin)

其實(shí)很多動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題就是在遍歷一棵樹，你如果對(duì)樹的遍歷操作爛熟于心，起碼知道怎么把思路轉(zhuǎn)化成代碼，也知道如何提取別人解法的核心思路。

再看看回溯算法，前文 [回溯算法詳解]干脆直接說(shuō)了，回溯算法就是個(gè) N 叉樹的前后序遍歷問(wèn)題，沒(méi)有例外。

比如 N 皇后問(wèn)題吧，主要代碼如下：

void backtrack(int[] nums, LinkedList) {
    if (track.size() == nums.length) {
        res.add(new LinkedList(track));
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (track.contains(nums[i]))
            continue;
        track.add(nums[i]);
        // 進(jìn)入下一層決策樹
        backtrack(nums, track);
        track.removeLast();
    }

/* 提取出 N 叉樹遍歷框架 */
void backtrack(int[] nums, LinkedList) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        backtrack(nums, track);
}

N 叉樹的遍歷框架，找出來(lái)了吧。你說(shuō)，樹這種結(jié)構(gòu)重不重要？

綜上，對(duì)于算法無(wú)從下手的朋友來(lái)說(shuō)，可以先刷樹的相關(guān)題目，試著從框架上看問(wèn)題，而不要糾結(jié)于細(xì)節(jié)問(wèn)題 。

糾結(jié)細(xì)節(jié)問(wèn)題，就比如糾結(jié) i 到底應(yīng)該加到 n 還是加到 n - 1，這個(gè)數(shù)組的大小到底應(yīng)該開 n 還是 n + 1 ？

從框架上看問(wèn)題，就是像我們這樣基于框架進(jìn)行抽取和擴(kuò)展，既可以在看別人解法時(shí)快速理解核心邏輯，也有助于找到我們自己寫解法時(shí)的思路方向。

當(dāng)然，如果細(xì)節(jié)出錯(cuò)，你得不到正確的答案，但是只要有框架，你再錯(cuò)也錯(cuò)不到哪去，因?yàn)槟愕姆较蚴菍?duì)的。

但是，你要是心中沒(méi)有框架，那么你根本無(wú)法解題，給了你答案，你也不會(huì)發(fā)現(xiàn)這就是個(gè)樹的遍歷問(wèn)題。

這種思維是很重要的，[動(dòng)態(tài)規(guī)劃詳解] 中總結(jié)的找狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的幾步流程，有時(shí)候按照流程寫出解法，說(shuō)實(shí)話我自己都不知道為啥是對(duì)的，反正它就是對(duì)了。。。

這就是框架的力量，能夠保證你在快睡著的時(shí)候，依然能寫出正確的程序； 就算你啥都不會(huì)，都能比別人高一個(gè)級(jí)別。

四、最后總結(jié)

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本存儲(chǔ)方式就是鏈?zhǔn)胶晚樞騼煞N，基本操作就是增刪查改，遍歷方式無(wú)非迭代和遞歸。

刷算法題建議從「樹」分類開始刷，結(jié)合框架思維，把這幾十道題刷完，對(duì)于樹結(jié)構(gòu)的理解應(yīng)該就到位了。這時(shí)候去看回溯、動(dòng)規(guī)、分治等算法專題，對(duì)思路的理解可能會(huì)更加深刻一些。