先說結論，當你遇到第i個元素時，應該有1/i的概率選擇該元素，1 - 1/i的概率保持原有的選擇 ?？创a容易理解這個思路：

/* 返回鏈表中一個隨機節點的值 */
int getRandom(ListNode head) {
    Random r = new Random();
    int i = 0, res = 0;
    ListNode p = head;
    // while 循環遍歷鏈表
    while (p != null) {
        i++;
        // 生成一個 [0, i) 之間的整數
        // 這個整數等于 0 的概率就是 1/i
        if (0 == r.nextInt(i)) {
            res = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

對于概率算法，代碼往往都是很淺顯的，但是這種問題的關鍵在于證明，你的算法為什么是對的？為什么每次以1/i的概率更新結果就可以保證結果是平均隨機的？

我們來證明一下，假設總共有n個元素，我們要的隨機性無非就是每個元素被選擇的概率都是1/n對吧，那么對于第i個元素，它被選擇的概率就是：

第i個元素被選擇的概率是1/i，在第i+1次不被替換的概率是1 - 1/(i+1)，在第i+2次不被替換的概率是1 - 1/(i+2)，以此類推，相乘的結果是第i個元素最終被選中的概率，也就是1/n。因此，該算法的邏輯是正確的。

同理，如果要在單鏈表中隨機選擇k個數，只要在第i個元素處以k/i的概率選擇該元素，以1 - k/i的概率保持原有選擇即可 。代碼如下：

/* 返回鏈表中 k 個隨機節點的值 */
int[] getRandom(ListNode head, int k) {
    Random r = new Random();
    int[] res = new int[k];
    ListNode p = head;

    // 前 k 個元素先默認選上
    for (int i = 0; i < k && p != null; i++) {
        res[i] = p.val;
        p = p.next;
    }

    int i = k;
    // while 循環遍歷鏈表
    while (p != null) {
        i++;
        // 生成一個 [0, i) 之間的整數
        int j = r.nextInt(i);
        // 這個整數小于 k 的概率就是 k/i
        if (j < k) {
            res[j] = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

對于數學證明，和上面區別不大：

雖然每次更新選擇的概率增大了k倍，但是選到具體第i個元素的概率還是要乘1/k，也就回到了上一個推導。

類似的，回到掃雷游戲的隨機初始化問題，我們可以寫一個這樣的sample抽樣函數：

// 在區間 [lo, hi) 中隨機抽取 k 個數字
int[] sample(int lo, int hi, int k) {
    Random r = new Random();
    int[] res = new int[k];

    // 前 k 個元素先默認選上
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        res[i] = lo + i;
    }

    int i = k;
    // while 循環遍歷數字區間
    while (i < hi - lo) {
        i++;
        // 生成一個 [0, i) 之間的整數
        int j = r.nextInt(i);
        // 這個整數小于 k 的概率就是 k/i
        if (j < k) {
            res[j] = lo + i - 1;
        }
    }
    return res;
}

這個函數能夠在一定的區間內隨機選擇k個數字，確保抽樣結果是均勻隨機的且只需要 O(N) 的時間復雜度。

蒙特卡洛驗證法

上面講到的洗牌算法和水塘抽樣算法都屬于隨機概率算法，雖然從數學上推導上可以證明算法的思路是正確的，但如果你筆誤寫出 bug，就會導致概率上的不均等。更神奇的是，力扣的判題機制能夠檢測出這種概率錯誤。

那么最后我就來介紹一種方法檢測隨機算法的正確性：蒙特卡洛方法。我猜測力扣的判題系統也是利用這個方法來判斷隨機算法的正確性的。

記得高中有道數學題：往一個正方形里面隨機打點，這個正方形里緊貼著一個圓，告訴你打點的總數和落在圓里的點的數量，讓你計算圓周率。

這其實就是利用了蒙特卡羅方法：當打的點足夠多的時候，點的數量就可以近似代表圖形的面積。結合面積公式，可以很容易通過正方形和圓中點的數量比值推出圓周率的。

當然，打的點越多，算出的圓周率越準確，充分體現了大力出奇跡的道理。

比如，我們可以這樣檢驗水塘抽樣算法sample函數的正確性：

public static void main(String[] args) {
    // 在 [12, 22) 中隨機選 3 個數
    int lo = 12, hi = 22, k = 3;
    // 記錄每個元素被選中的次數
    int[] count = new int[hi - lo];
    // 重復 10 萬次
    int N = 1000000;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int[] res = sample(lo, hi, k);
        for (int elem : res) {
            // 對隨機選取的元素進行記錄
            count[elem - lo]++;
        }
    }
    System.out.println(Arrays.toString(count));
}

這段代碼的輸出如下：

[300821, 299598, 299792, 299198, 299510, 300789, 300022, 300326, 299362, 300582]

當然你可以做更細致的檢查，不過粗略看看，各個元素被選中的次數大致是相同的，這個算法實現的應該沒啥問題。

對于洗牌算法中的shuffle函數也可以采取類似的驗證方法，我們可以跟蹤某一個元素x被打亂后的索引位置，如果x落在各個索引的次數基本相同，則說明算法正確，你可以自己嘗試實現，我就不貼代碼驗證了。

拓展延伸

到這里，常見的隨機算法就講完了，簡單總結下吧。

洗牌算法主要用于打亂數組，比如我們在 快速排序詳解及運用中就用到了洗牌算法保證快速排序的效率。

水塘抽樣算法的運用更加廣泛，可以在序列中隨機選擇若干元素，且能保證每個元素被選中的概率均等。

對于這些隨機概率算法，我們可以用蒙特卡洛方法檢驗其正確性。

最后留幾個拓展題目：

1、本文開頭講到了將二維數組坐標(x, y)轉化成一維數組索引的技巧，那么你是否有辦法把三維坐標(x, y, z)轉化成一維數組的索引呢？

2、如何對帶有權重的樣本進行加權隨機抽取？比如給你一個數組w，每個元素w[i]代表權重，請你寫一個算法，按照權重隨機抽取索引。比如w = [1,99]，算法抽到索引 0 的概率是 1%，抽到索引 1 的概率是 99%。

3、實現一個生成器類，構造函數傳入一個很長的數組，請你實現randomGet方法，每次調用隨機返回數組中的一個元素，多次調用不能重復返回相同索引的元素。要求不能對該數組進行任何形式的修改，且操作的時間復雜度是 O(1)