給你一本書(shū)，你能用普通的刻度尺，量出一張紙的厚度嗎？

答案是肯定的！我想讀者都已經(jīng)想到了到了。謎底是，量出全書(shū)的厚度（如果書(shū)很薄，可以把相同的書(shū)疊幾本！），然后除以全書(shū)紙的張數(shù)，即得每張紙的厚度。

以《辭海》縮印本（1980年8月版）為例，該書(shū)除封面外厚60毫米，全書(shū)共2256頁(yè)，計(jì)1128張紙，那么每張紙厚約

x=60/1128=0.0532（毫米）

上述方法可以用于類(lèi)似的場(chǎng)合。

例如，為了測(cè)出細(xì)漆包線的直徑大小，可以采用繞線的辦法，在一根鉛筆上，緊密地繞上n圈，測(cè)量出這n圈漆包線在鉛筆上所占位置的長(zhǎng)L，則該漆包線的直徑d，顯然應(yīng)該滿足

然而，盡管很多人都懂得應(yīng)該這樣去做，但并不一定所有的人都知道這樣做的科學(xué)原理。

仍以測(cè)量《辭海》的書(shū)頁(yè)為例，實(shí)際上我們很難找到書(shū)中哪一頁(yè)紙的厚度恰好等于0.0532毫米，所有1128張紙都有它們各自的厚度（單位：毫米）

a1，a2，a3，…，a1128

只是這1128個(gè)數(shù)的總和是一個(gè)常量，即

而0.0532毫米，則是這1128個(gè)數(shù)的平均值。現(xiàn)在需要證明的是：對(duì)于量x的n個(gè)觀測(cè)值a1，a2，…，an，它們的平均值

是所要測(cè)定的量x的最理想取值。式中求和符號(hào)表示從1累加到n。

事實(shí)上，最理想的取值x，應(yīng)當(dāng)使它與n個(gè)觀察值的差的總和為最小。但考慮到差（x-ai）（i=1，2，…，n）可能有正有負(fù)，如果直接把它們相加，勢(shì)必使某些差的值相抵消，影響了偏離的真實(shí)性，這顯然是不合理的。

于是，人們想到了用（x-ai）的2次方來(lái)替代相應(yīng)的差。這樣一來(lái)，最理想的取值x應(yīng)當(dāng)使函數(shù)

取極小值。這是關(guān)于x的二次函數(shù)，易知當(dāng)時(shí)y取極小。這就是為什么平均值可以看成是觀測(cè)量最理想取值的道理。

同樣的原理可以用于二維的情形，只是計(jì)算稍微復(fù)雜一些，我們將要得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上非常有名，叫作最小二乘法。它是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯于1795年創(chuàng)立的，那時(shí)他年僅18歲！現(xiàn)在假定我們觀察到n個(gè)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)：

（xi，yi），（x2，y2），…，（xn，yn）

如果我們認(rèn)定這n個(gè)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)Mi（i=1，2，…，n）是對(duì)直線y=Ax+B上的點(diǎn)在觀測(cè)時(shí)的誤差。那么，這些經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)Mi（xi，yi）與直線上相應(yīng)點(diǎn)N（xi，Axi+B）之間的以下量

應(yīng)當(dāng)取極小值。“最小二乘法”的名稱(chēng)，大約就是由此而來(lái)！

函數(shù)y顯然可以寫(xiě)成A的二次函數(shù)

時(shí)取極小值。整理得

同理，函數(shù)y又可以寫(xiě)成B的二次函數(shù)，而當(dāng)這一函數(shù)取極小值時(shí)，又得

這樣，由線性方程組

便可以確定參數(shù)A、B的值。從而得到一條最逼近n個(gè)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)Mi（i=1，2，…，n）的直線

y=Ax+B

最小二乘法在科學(xué)上有許多妙用。

下面是一個(gè)實(shí)例，數(shù)學(xué)工具幫助歷史學(xué)家解開(kāi)了一個(gè)千古之謎！

傳說(shuō)古日本有一個(gè)邪馬臺(tái)國(guó)。239年，邪馬臺(tái)國(guó)女王卑彌呼曾經(jīng)派遣使臣前往當(dāng)時(shí)魏國(guó)的京都洛陽(yáng)，向魏明帝（曹操的孫子）進(jìn)貢物品。魏明帝賜卑彌呼為“親魏倭王”，并賞給黃金、絲綢等大批物資。

這個(gè)歷史事件，在經(jīng)歷了近兩千年的漫長(zhǎng)歲月后，在人們的記憶中漸漸淡薄，連邪馬臺(tái)國(guó)位于日本島的何方也成了不解之謎！

東京大學(xué)有位歷史學(xué)教授平山朝治，不僅精通歷史，而且擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)。一天，平山教授正專(zhuān)心翻閱中國(guó)古籍史書(shū)《三國(guó)志》，突然一篇《魏志·倭》落入他的視野。文中記述了當(dāng)時(shí)魏國(guó)使者前往倭國(guó)的實(shí)際行程。平山對(duì)邪馬臺(tái)國(guó)的奧秘發(fā)生了濃厚的興趣。他把文章細(xì)讀了一遍，見(jiàn)文中寫(xiě)道：

“從郡至倭，循海岸水行，歷韓國(guó)，乍東乍南，到其北岸狗邪韓國(guó)，七千余里，始渡一海，千余里至對(duì)馬國(guó)。……又南渡一海千余里，……至一大國(guó)，……又渡一海，千余里至末盧國(guó)，……東南陸行五百里，到伊都國(guó)，……東南至奴國(guó)百里，……東行至不彌國(guó)百里，……南至投馬國(guó)，水行二十日，……南至邪馬壹國(guó)，女王之所都，……可七萬(wàn)余戶。”

然而，當(dāng)平山先生讀完全文時(shí)，原先熱乎乎的心，涼了半截！

原來(lái)《魏志·倭》中的“里”，是個(gè)謎中之謎！這種懷疑不能說(shuō)沒(méi)有道理。古代的長(zhǎng)度單位顯然是不同于今的。就好像《三國(guó)演義》里描寫(xiě)劉備身高7.5尺，張飛身高8尺，關(guān)云長(zhǎng)身高9尺。按現(xiàn)在換算，他們的高度堪稱(chēng)世界之最。..。..。

又如《水滸》中矮得出奇的武大，書(shū)中寫(xiě)他身高5尺，這在現(xiàn)在已是中等個(gè)兒，所以文中的“里”就更值得打個(gè)問(wèn)號(hào)了！

不過(guò)，平山先生并沒(méi)有因此灰心喪氣。他從《魏志·倭》的字里行間的差異，分析出了伊都國(guó)應(yīng)當(dāng)是使者的大本營(yíng)。又“對(duì)馬國(guó)”和“一大國(guó)”，被令人信服地判明就是現(xiàn)今的對(duì)馬島和壹歧島。這樣，平山就使自己的所有數(shù)據(jù)，有了一個(gè)可被信賴(lài)的參照點(diǎn)。從而使得他能夠運(yùn)用科學(xué)的最小二乘法，找到了魏時(shí)的里與今天千米之間的函數(shù)關(guān)系

y=-9.90+0.0919x

由此判定，伊都國(guó)即當(dāng)今日本國(guó)本州島的福崗縣。不過(guò)，接下去情況似乎有點(diǎn)不妙！因?yàn)樽詈笸瞥鲂榜R臺(tái)國(guó)竟坐落在九州島的荒涼山區(qū)。這是不可思議的！連平山本人也懷疑這樣的結(jié)論！昔日有7萬(wàn)戶的繁華國(guó)度，今天不可能荒無(wú)人跡！

經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，推測(cè)使者實(shí)際上走的并非是一條直線，而是一條弧線。經(jīng)修正后，平山教授得出了以下結(jié)論：“古邪馬臺(tái)國(guó)中心，位于現(xiàn)日本國(guó)福岡縣的久留米。”

審核編輯 ：李倩