Christopher J. Fisher

確定系統傾斜或傾斜的一種常用方法是對陀螺儀的輸出進行積分。雖然這種方法很簡單，但隨著積分周期的增加，與零偏置穩定性相關的誤差會迅速加劇，即使在器件靜止時也會導致明顯的旋轉。

在某些應用中，系統隨時間推移的凈加速度或力是重力，加速度計可用于測量傾斜或傾斜的靜態角度。此類應用包括游戲、數碼相機中的水平檢測以及工業和醫療應用中的設備航向檢測。

使用加速度計進行傾角感應的基本假設是，唯一的加速度刺激是與重力相關的加速度刺激。實際上，可以對信號輸出進行信號處理，以去除輸出信號中的高頻成分，因此可以容忍一些交流加速度。

傾角傳感使用重力矢量及其在加速度計軸上的投影來確定傾斜角度。由于重力是直流加速度，因此任何導致額外直流加速度的力都會損壞輸出信號并導致計算錯誤。直流加速度的來源包括車輛以恒定速率加速的時間段和在加速度計上引起向心加速度的旋轉裝置。此外，通過重力旋轉加速度計會導致明顯的交流加速度，因為重力在感興趣軸上的投影會發生變化。在計算傾角之前對加速度信號進行任何濾波都會影響輸出穩定到新靜態值的速度。

本應用筆記討論了將加速度計輸出轉換為傾斜角的基本原理。本討論包括如何計算單軸、雙軸或三軸解決方案的理想傾角。此外，還包括一些有關校準的基本信息，以減少失調和靈敏度不匹配造成的誤差。

傾斜/傾斜計算

單軸傾斜計算

在只需要在有限角度和分辨率略顯粗糙的范圍內進行傾角檢測的應用中，可以使用單軸設備（或多軸設備的單軸）。

例如，在圖 1 中，單個軸（本例中的 x 軸）通過重力旋轉。由于此方法僅使用單個軸并且需要重力矢量，因此僅當設備的方向使x軸始終位于重力平面中時，計算的傾斜角度才是準確的。圍繞其他軸的任何旋轉都會減小 x 軸上的加速度大小，并導致計算的傾斜角出現誤差。

圖1.用于傾斜傳感的單軸。

參考基本三角函數，重力矢量在 x 軸上的投影產生的輸出加速度等于加速度計 x 軸與地平線之間角度的正弦。地平線通常被視為與重力矢量正交的平面。對于重力的理想值為 1 g，輸出加速度為

使用單軸解決方案時，請注意，傾角計算的靈敏度（即輸入中某些變化的輸出變化）隨著地平線和 x 軸之間的角度增加而降低，當角度接近 ±0° 時接近 90。這可以從圖2中看到，其中輸出加速度（以g為單位）與傾斜角的關系圖。接近±90°時，傾斜角度的較大變化會導致輸出加速度的微小變化。

圖2.單軸傾角檢測的輸出加速度與傾斜角度的關系。

由于傾角計算是以數字方式完成的，因此輸出加速度表示為每最低有效位（LSB）或代碼的恒定加速度，該加速度可從模數轉換器（ADC）或直接從數字輸出部分獲得。由于輸出分辨率是恒定加速度，因此以傾斜度為單位的分辨率是可變的，最佳分辨率接近 0°，最差分辨率為 ±90°。

圖3和圖4顯示了1°和0.25°傾斜角步長的增量靈敏度。增量靈敏度是輸出變化，以mg表示，每個傾斜角度步長，或

其中：
N 是當前角度。
P 是步長。

圖3.1° 步長的增量傾斜靈敏度。

圖4.0.25°步長的增量傾斜靈敏度。

這些曲線可用于在測量輸出加速度時確定所需的最小分辨率，以滿足整個應用范圍內所需的傾斜分辨率。例如，設計的最大步長為 1°，對于 ±8° 的范圍，至少需要 63 mg/LSB 的分辨率。同樣，要在 ±0 范圍內實現 25.63° 的最大步長，需要至少 2 mg/LSB 的分辨率。請注意，如果存在足夠的抖動，則可以使用過采樣來實現更好的分辨率。

由于加速度計的輸出在重力旋轉時遵循正弦關系，因此使用反正弦函數完成從加速度到角度的轉換。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

如果需要較窄的傾斜范圍，可以使用線性近似代替反正弦函數。線性近似與小角度的正弦近似有關。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

傾斜角的線性近似中可以包含一個額外的比例因子 k，如果允許誤差增加，則允許增加近似的有效范圍。

其中傾角 θ 以弧度為單位。

度數的轉換是通過將公式 5 的結果乘以 （180/π） 來完成的。圖 5 顯示了使用正弦反函數和 k 等于 1 的線性近似之間的比較。隨著傾角大小的增加，線性近似開始失效，計算的角度偏離實際角度。

圖5.用于傾角計算的正弦反函數和線性近似的比較.

由于計算的角度與實際傾斜角作圖，因此線性近似值似乎在末端附近彎曲。這是因為線性近似值僅在與輸出加速度相比時才是線性的，如圖2所示，輸出加速度的行為與實際傾斜角度的增加相似。但是，反正弦函數應產生與實際傾斜角一對一的輸出，導致計算的角度在與實際傾斜角繪制時為直線。

例如，如果傾斜感測的所需分辨率為1°，則±0.5°的誤差是可以接受的，因為它低于計算的舍入誤差。如果繪制實際傾角與計算的傾角之間的誤差，k等于1，如圖6所示，則線性近似的有效范圍僅為±20°。如果調整比例因子以使誤差最大化，但保持在計算舍入限制內，則線性近似的有效范圍將增加到大于 ±30°。

圖6.計算不同比例因子的角度誤差。

雙軸傾斜計算

單軸傾角檢測的一個限制是需要高分辨率ADC或數字輸出來實現大范圍的有效傾角，如圖3和圖4所示。另一個限制是單軸測量無法提供 360° 測量，因為在 N° 傾角處產生的加速度與在 180° ? N° 傾角處產生的加速度相同。對于某些應用，這是可以接受的，但對于需要更高分辨率或能夠區分完整360°弧的傾斜角度的應用，需要第二個軸（如圖7所示）或第二個傳感器。如果使用第二個傳感器，則應使其方向應使第二個傳感器的傳感軸與第一個傳感器的傳感軸正交。

圖7.用于傾斜傳感的兩個軸。

在確定傾斜角度時包括第二個軸有三個主要好處。以下各節將介紹這些好處。

恒定靈敏度

使用第二個軸的第一個主要好處是由于軸的正交性。與單軸解決方案一樣，x 軸檢測到的加速度與傾斜角的正弦成正比。由于正交性，y軸加速度與傾角的余弦成正比（見圖8）。當一個軸的增量靈敏度降低時，例如當該軸上的加速度接近 +1 g 或 ?1 g 時，另一個軸的增量靈敏度會增加。

圖8.雙軸傾角檢測的輸出加速度與傾角的關系。

將測量的加速度轉換為傾角的一種方法是計算 x 軸的反正弦和 y 軸的反余弦，類似于單軸解。但是，更簡單、更有效的方法是使用兩個值的比率，這將導致以下結果：

其中傾角 θ 以弧度為單位。

與單軸示例不同，使用兩個軸的比率來確定傾斜角度使得確定增量靈敏度非常困難。相反，在給定所需的傾斜分辨率的情況下，確定所需的最小加速度計分辨率更有用。假設一個軸的增量靈敏度隨著另一個軸的降低而增加，最終結果是有效的增量靈敏度大致恒定。這意味著選擇具有足夠分辨率的加速度計，以便在一個角度上實現所需的傾斜步長，對于所有角度來說都足夠了。

為了確定加速度計的最低必要分辨率，檢查公式6以確定分辨率限制在哪里。由于每個軸的輸出依賴于傾斜角的正弦或余弦，并且每個函數的傾斜角度相同，因此最小可分角對應于最小可分加速度。

如圖3和圖4所示，正弦函數在0°附近的變化率最大，可以表明余弦函數在這一點上的變化率最小。因此，在 y 軸上的加速度變化之前，可以識別由于傾斜度變化而導致的 x 軸上的加速度變化。因此，系統接近 0° 的分辨率主要取決于 x 軸的分辨率。為了檢測P°的傾角變化，加速度計必須能夠檢測到大約

圖 9 可用于確定所需傾斜步長所需的最小加速度計分辨率或最大加速度計比例因子。請注意，加速度計分辨率的提高與加速度計比例因子的降低以及檢測輸出加速度較小變化的能力相對應。因此，在選擇具有適當分辨率的加速度計時，比例因子應小于圖 9 中所示的預期傾斜步長限制。

圖9.所需傾角分辨率的最小加速度計分辨率減少了對平面對齊的依賴性。

減少對重力平面對齊的依賴

使用至少兩個軸的第二個主要好處是，與單軸解決方案不同，單軸解決方案在x軸以外的任何軸上的傾斜都可能導致顯著誤差，使用第二個軸可以測量準確的值，即使存在第三個軸的傾斜度。這是因為有效增量靈敏度與感興趣軸上的重力和方根 （RSS） 值成正比。

當重力完全包含在 xy 平面中時，在這些軸上檢測到的加速度的 RSS 值理想情況下等于 1 g。如果在 xz 或 yz 平面中存在傾斜，則重力引起的總加速度會降低，這也降低了有效的增量靈敏度。這反過來又增加了給定加速度計分辨率的傾斜步長，但仍能提供準確的測量。傾角計算得出的角度對應于 xy 平面中的旋轉。

如果系統足夠傾斜，使得xy平面中由于重力引起的加速度非常小，則傾斜角步長將太粗而無法使用;因此，建議限制 XZ 或 YZ 平面中的傾斜度。

完整的 360° 傾斜感應

使用第二軸的第三個主要好處是能夠區分每個象限并測量整個 360° 弧的角度。如圖 10 所示，每個象限都有與 x 軸和 y 軸加速度相關的不同符號組合。

圖 10.用于象限檢測的傾斜角度和加速度符號。

反正切函數在象限 I 中返回一個值，如果操作數 A刪除/一個Y，輸出，是積極的;如果操作數為負數，則反切函數返回象限 IV 中的值。由于象限 II 中的操作數為負數，因此當角度位于該象限中時，應在計算結果中添加 180° 的值。由于象限 III 中的操作數為正數，因此當角度位于該象限中時，應從計算結果中減去 180° 的值。計算角度的正確象限可以通過檢查每個軸上測量的加速度符號來確定。

三軸傾斜計算

當引入第三個軸時，可以在一個完整的球體中確定傳感器的方向。矩形 （x， y， z） 到球形 （ρ， θ， φ） 轉換的經典方法可用于將 xy 平面中的傾斜角度 θ 和從重力矢量 φ 的傾斜角度與每個軸上測量的加速度相關聯，如下所示：

假設唯一測量的加速度是由重力引起的，公式10中操作數的分母可以用常數代替，理想情況下為1，因為當唯一的加速度是重力時，所有軸的RSS值都是恒定的。角度如圖 11 所示，其中圖 11c 僅顯示 xy 平面中的 θ，圖 11d 顯示 φ 作為 z 軸和重力矢量之間的角度。

圖 11.球面坐標系的角度。

由于三軸法方程與單軸和雙軸方法方程相似，三軸解的分析與單軸和雙軸方法組合的分析相同。θ的測量得益于兩個正交軸的比值，所需的傾角分辨率需要最小加速度計分辨率，如公式8所示。

φ的測量對應于單軸解決方案的傾角測量，以及確定所需范圍內特定傾角分辨率所需的最小加速度計分辨率的方法。不同之處在于，使用反余弦函數來確定φ，當φ為 90° 時會產生最大增量靈敏度，而在 0° 和 180° 時會產生最小增量靈敏度。

公式3中用余弦代替正弦，可以生成類似于圖4和圖2的曲線。需要注意的是，雖然θ的范圍是?180°到+180°，但φ的范圍只有0°到180°。φ的負角度會導致 θ 的角度變為負。

使用三個軸進行傾角檢測的另一種方法是從參考位置單獨確定加速度計每個軸的角度。參考位置被視為設備的典型方向，其中 x 軸和 y 軸位于地平線平面（0 g 場），z 軸與地平線正交（1 g 場）。如圖 12 所示，其中 θ 表示地平線與加速度計 x 軸之間的角度，ψ表示地平線與加速度計 y 軸之間的角度，φ為重力矢量與 z 軸之間的角度。當在 x 軸和 y 軸上的初始位置為 0 以及 z 軸上的初始位置為 1 g 時，所有計算的角度均為 0°。

圖 12.用于獨立傾角傳感的角度。

基本三角函數可用于顯示可以使用公式11、公式12和公式13計算傾斜角度。

公式13中操作數的明顯反轉是由于初始位置為1 g場。如果需要將地平線作為 z 軸的參考，則可以反轉操作數。正角表示加速度計的相應正軸指向地平線上方，而負角度表示軸指向地平線下方。

由于使用了反切函數和加速度比，因此雙軸示例中提到的好處適用，即有效增量靈敏度是恒定的，并且可以精確測量單位球面周圍所有點的角度。

失調和靈敏度失配誤差校準

本應用筆記中的分析是在假設使用理想加速度計的情況下進行的。這對應于沒有0 g偏移且具有完美靈敏度（模擬傳感器表示為mV/g或數字傳感器為LSB/g）的器件。盡管傳感器經過修整，但這些設備本質上是機械的，這意味著系統組裝后零件上的任何靜態應力都可能影響偏移和靈敏度。這與工廠校準的限制相結合，可能會導致超出應用允許限制的誤差。

失調誤差的影響

為了演示誤差有多大，首先想象一個具有完美靈敏度但在 x 軸上偏移為 50 mg 的 dua-laxis 解決方案。在 0° 時，x 軸讀數為 50 m g，y 軸讀數為 1 g。計算出的角度為 2.9°，導致誤差為 2.9°。在±180°時，x軸將報告50 m g，而y軸將報告-1 g。這將導致計算的角度和誤差為-2.9°。對于此示例，計算角度與實際角度之間的誤差如圖 13 所示。與系統所需的精度相比，失調引起的誤差可能不僅很大，而且可能會發生變化，因此難以簡單地校準誤差角度。當包含多個軸的偏移時，這變得更加復雜。

圖 13.計算出加速度計偏移引起的角度誤差。

靈敏度失配誤差的影響

在雙軸傾角檢測應用中，加速度計靈敏度導致的主要誤差成分是當目標軸之間存在靈敏度差異時（與單軸解決方案相反，在單軸解決方案中，實際靈敏度與預期靈敏度之間的任何偏差都會導致誤差）。由于使用了x軸和y軸的比率，因此如果靈敏度相同，則大部分誤差將被消除。

作為加速度計靈敏度不匹配影響的示例，假設使用具有完美偏移微調、y 軸完美靈敏度和 x 軸 +5% 靈敏度的雙軸解決方案。這意味著在 1 g 字段中，y 軸報告 1 g，而 x 軸報告 1.05 g。圖14顯示了由于這種靈敏度不匹配而導致的計算角度誤差。與偏移誤差類似，加速度計靈敏度不匹配引起的誤差在整個旋轉范圍內變化，因此在計算傾角后難以補償誤差。通過改變 y 軸靈敏度進一步偏斜失配會導致更大的誤差。

圖 14.由于加速度計靈敏度不匹配而導致的角度誤差計算。

基本校準技術

當失調和靈敏度不匹配引起的誤差結合在一起時，誤差可能會變得非常大，遠遠超出傾斜檢測應用中的可接受限值。為了減少此誤差，應校準偏移和靈敏度，并使用校準的輸出加速度來計算傾斜角度。當包括偏移和靈敏度的影響時，加速度計輸出如下：

其中：
AOOFF 是偏移誤差，單位為 g。
增益是加速度計的增益，理想情況下為1。
AACTUAL 是作用在加速度計上的實際加速度和所需值，以 g 為單位。

一個簡單的校準方法是假設增益為1并測量失調。然后，此校準將系統的精度限制為靈敏度的未校準誤差。簡單的校準方法可以通過將目標軸放入0 g場中并測量輸出來完成，輸出等于偏移。然后，在處理信號之前，應從加速度計的輸出中減去該值。這通常被稱為無轉彎或單點校準，因為設備的典型方向將 x 軸和 y 軸置于 0 g 視場中。如果使用三軸設備，則 z 軸應至少包括一個轉彎或第二個點。

更準確的校準方法是每個感興趣的軸使用兩個點（對于三軸設計，最多六個點）。當將軸放入 +1 g 和 ?1 g 場時，測量輸出如下：

其中偏移量 AOFF 以 g 為單位。

這兩個點可用于確定失調和增益，如下所示：

其中 +1 g 和 ?1 g 測量值 A+1g 和 A?1g 以 g 為單位。

這種類型的校準還有助于最大限度地減少跨軸靈敏度影響，因為在對目標軸進行測量時，正交軸處于0 g視場中。這些值的使用方法是：首先從加速度計測量中減去偏移，然后將結果除以增益。

其中 AOUT 和 AOFF 在 g 中。

公式15至公式19中AOF和增益的計算假設加速度值A+1g和A?1g以g為單位。如果使用以mg為單位的加速度，則公式17中AOF的計算保持不變，但公式18中的增益計算應除以1000，以考慮單位的變化。

審核編輯：郭婷