本文將研究濾波器傳遞函數本身的相移。雖然濾波器主要針對其幅度響應而設計，但相位響應在延時仿真、級聯濾波器級，尤其是過程控制環路等應用中可能很重要。

本文將重點介紹低通和高通響應。本系列的后續文章將研究濾波器的帶通和陷波（帶抑制）響應、全通響應以及脈沖和階躍響應。

回顧一下，有源濾波器的傳遞函數可以看作是濾波器傳遞函數和放大器傳遞函數的級聯響應（圖1）。

圖1.濾波為兩個傳遞函數的級聯。

低通傳遞方程

首先，我們將重新檢查傳遞方程的相位響應。

對于單極點低通情況，傳遞函數的相移由下式給出：

(1)

其中 ω 表示弧度頻率（ω = 2πf 弧度每秒;1 Hz = 2π 弧度每秒）和 ω0表示濾波器的弧度中心頻率。中心頻率也可以稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率將是相移處于其范圍50%的頻率。由于弧度頻率是用一個比率，頻率比，樓/樓0，可方便地替代 ω/ω0.

圖2（左軸）評估了公式1從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的十倍頻程。由于單極點低通具有90°的相移范圍（從0°到90°），因此中心頻率的相移為–45°。在 ω = ω 時0歸一化中心頻率為 1。

圖2.中心頻率為1的單極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應。

類似地，單極點高通濾波器的相位響應由下式給出：

(2)

圖2（右軸）計算了公式2從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率二十倍頻程的系數。中心頻率（=1）的相移為+45°。

如果低通通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，請注意，最低相移（0°至45°）在通帶內。相反，最高相移（45°至90°）發生在阻帶（高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率）。

在低通情況下，濾波器的輸出滯后于輸入（負相移）;在高通情況下，輸出領先于輸入（正相移）。圖3顯示了波形：輸入正弦波信號（中心跡線）、1 kHz截止單極點高通濾波器的輸出（頂部跡線）和1 kHz截止單極點低通濾波器的輸出（底部跡線）。信號頻率也是1 kHz，即兩個濾波器的截止頻率。波形的45°超前和滯后清晰可見。

圖3.單極點高通濾波器（頂部跡線）和低通濾波器（底部跡線）的輸入（中心跡線）和輸出。

對于二階低通情況，傳遞函數的相移可以近似為：

圖4（左軸）從中心頻率以下二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的計算（使用α = √2 = 1.414）。這里的中心頻率為1，相移為–90°。

圖4.中心頻率為2的1極點低通濾波器（左軸）和高通濾波器（右軸）的相位響應。

α，在公式3中，濾波器的阻尼比是Q的倒數（即Q = 1/α）。它決定了幅度（和瞬態）響應的峰值和相變的尖銳度。1.414 的α表征了 2 極巴特沃斯（最大平坦）響應。

2極點高通濾波器的相位響應近似公式為：

在圖4（右軸）中，該方程用α = 1.414從低于中心頻率二十倍頻二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的計算。在中心頻率（=1）處，相移為90°。

圖2和圖4使用單曲線，因為高通和低通相位響應相似，只是偏移了90°和180°（π/2和π弧度）。這相當于相位符號的變化，導致低通濾波器的輸出滯后，高通濾波器的輸出超前。

實際上，高通濾波器實際上是一種寬帶帶通濾波器，因為放大器的響應至少會引入一個低通極點。

圖5顯示了2極點低通濾波器的相位和增益響應，繪制為Q的函數。傳遞函數表明，相變可以分布在相當寬的頻率范圍內，并且變化的范圍與電路的Q成反比。雖然本文主要討論相位響應，但相位變化率和幅度變化率之間的關系值得考慮。

圖5.2極點低通濾波器部分的相位和幅度響應與Q的函數關系。

請注意，每個 2 極部分提供最大 180° 的相移;在四肢，–180°的相移雖然滯后了360°，但與180°的相移具有相同性質的角度。出于這個原因，多級濾波器通常會在有限的范圍內繪制，例如 180° 到 –180°，以提高讀取圖形的準確性（見圖 9 和圖 11）。在這種情況下，必須認識到，繪制的角度實際上是 360° ×正負 m 的真實角度。雖然在這種情況下，圖形的頂部和底部似乎存在不連續性（當繪圖過渡±180°時），但實際相位角正在平滑而單調地變化。

圖6顯示了具有不同Q值的2極點高通濾波器的增益和相位響應。傳遞函數表明，180°的相變可以在較大的頻率范圍內發生，并且變化的范圍與電路的Q成反比。另請注意，曲線的形狀非常相似。特別是，相位響應具有相同的形狀，只是范圍不同。

圖6.2極點高通濾波器部分的相位和幅度響應與Q的函數關系。

放大器傳遞函數

放大器的開環傳遞函數基本上是單極點濾波器的傳遞函數。如果是反相放大器，它實際上是在插入180°的額外相移。放大器的閉環相移通常被忽略，但如果其帶寬不足，它會影響復合濾波器的整體傳輸。本文選擇AD822進行濾波器仿真。它會影響復合濾波器傳遞函數，但僅限于較高頻率，因為它的增益和相移保持在比濾波器本身的轉折頻率高得多的頻率。數據手冊中AD822的開環傳遞函數如圖7所示。

圖7.AD822 博德圖增益和相位。

示例 1：1kHz、5 極點、0.5 dB 切比雪夫低通濾波器

例如，我們將研究一個1 kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫低通濾波器。此特定選擇的幾個原因：

1）與巴特沃斯的情況不同，各個部分的中心頻率都不同。這允許圖形將跟蹤進一步展開，因此圖形更有趣。

2）Q通常更高一些。

3）奇數極強調單極和雙極截面之間的差異。

濾波器部分是使用ADI公司網站上的濾波器設計向導設計的。

這f0各節的 和 Q 如下：

圖8顯示了整個濾波器的原理圖。選擇的濾波器拓撲——多反饋（MFB）——也是任意的，選擇將單極部分作為有源積分器而不是簡單的緩沖無源RC電路也是如此。

圖8.1kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫低通濾波器。

圖9顯示了整個濾波器每級的相移。該圖顯示了第一部分（第 1 部分 - 藍色）、前兩部分（第 1 部分和第 2 部分 - 紅色）和完整濾波器（第 1、2 和 3 部分 - 綠色）的相移。其中包括濾波器部分的基本相移、每個反相放大器貢獻的 180° 以及放大器頻率響應對整體相移的影響。

圖9.圖1中5 kHz、0極點、5.8 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應。

一些有趣的細節：首先，相位響應是凈滯后，會累積為負數。由于低頻時的放大器相位反轉，第一個 2 極部分從 –180° （=180° 模 360°） 開始，在高頻下增加到 –360° （=0° 模 360°）。第二部分增加了另一個從–540°（=180°模360°）開始的反相，在高頻下相位增加到–720°（=0°模360°）。 第三部分在低頻下從–900°（= 180°模360°）開始，在高頻下增加到–990°（= 90°模360°）。 另請注意，在高于10 kHz的頻率下，由于放大器的頻率響應，相位會略有滾降。這種滾降被認為是累積的，每個部分都在增加。

示例 2：1kHz、5 極點、0.5 dB 切比雪夫高通濾波器

第二個示例（見圖10）考慮了1 kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫高通濾波器的相位響應。在這種情況下，濾波器設計（再次使用濾波器設計向導）采用Sallen-Key電壓控制電壓源（VCVS）部分，而不是多反饋（MFB）。雖然VCVS是一個任意選擇，但每個2極部分只需要兩個電容器，而不是MFB的每個部分三個電容器，并且前兩個部分是同相的。

圖 10.1kHz、5極點、0.5 dB切比雪夫高通濾波器。

圖11顯示了濾波器各部分的相位響應。第一部分的相移在低頻時從180°開始，在高頻下下降到0°。第二部分在低頻時增加 180°，從 360°（= 0° 模 360°）開始，在高頻時下降到 0°。第三部分增加了相位反轉，從低頻的–180° + 90° = 90°開始，下降到–540°（= –180°模360°）。再次注意由于放大器頻率響應而在高頻下的額外滾降。

圖 11.圖1中5 kHz、0極點、5.8 dB切比雪夫低通濾波器的相位響應。

結論

本文考慮低通和高通濾波器的相移。本系列的上一篇文章研究了與濾波器拓撲相關的相移。在以后的文章中，我們將介紹帶通、陷波和全通濾波器——在最后一部分中，我們將將它們結合在一起，并研究相移如何影響濾波器的瞬態響應，研究群延遲、脈沖響應和階躍響應。

審核編輯：郭婷