從粉筆到軟件代碼，數學家和科學家使用各種方法來表達方程式和公式，他們對數字文章背后的含義有不同的想法。

粉紅色背景的數學方程式

在過去的幾十年里，當研究人員不得不敲打打字機來撰寫他們的科學論文時，他們經常會遇到障礙。這些機器，包括1960年代至1980年代流行的IBM Selectric系列，不包含數學符號的鍵，例如用于表示微積分的長“S”。當需要輸入等式時，研究人員不得不尋找高爾夫球大小的銀色球體，其中包含適當的字符以卡入打字機。有些人尋求解決方法來避免麻煩。

“我沒有耐心使用IBM Selectric并切換球，”理查德·費曼理論物理學教授John Preskill（約翰·普雷斯基爾）說?！爱斘疫€是一名本科生時，我打出我的畢業論文，但為方程式留出了空間，然后用手寫了出來。在我的博士論文中，一位技術打字員用手寫出了我寫的東西。

今天，打字機已經讓位于PC個人計算機和其他現代技術，數學家和科學家更容易將他們的數學方程式傳達給合作者和世界其他地區。研究人員在虛擬白板上分享他們的公式，用智能手機拍攝方程式的照片，并使用一種名為LaTeX（發音為lay-tech）的備受贊譽的軟件程序在文檔中寫出方程式。在整個加州理工學院校園里，科學家和數學家都有各種用數學語言寫作的方法。有些人已經數字化，而另一些人仍然更喜歡黑板的堅毅觸覺。布倫理論物理學教授Fernando Brand?o（費爾南多·布蘭多）說，他已經改用數字筆和平板來寫方程式。

“我曾經把方程式寫在到處都是的紙上，”他說?！艾F在我節約紙張和樹木”。

并非所有研究人員都以相同的方式看待這些手寫符號和軟件代碼。有些人稱數學為自然的語言，而另一些人則將其描述為抽象推理的工具。盡管如此，研究人員一致認為，數學符號使他們能夠揭示我們世界中與股票市場，計算機，黑洞甚至生物相關的隱藏模式和結構。

“數學可以讓你一次封裝很多想法。它可以讓你找到切入問題核心的精辟解決方案，“數學教授Tom Hutchcroft（湯姆·哈奇克羅夫特）說?！跋胂笠幌孪缕?，每走一步棋都得寫下一段記錄一下。這就是在沒有方程式的情況下做數學的樣子。

古代算術

第一個書面的數學符號可以追溯到幾千年前，可以發現雕刻在黏土片、石頭和木頭上。古埃及人用符號或象形文字描繪了以10的冪排序的數字，例如蓮花，手指和青蛙。

我們所知道的現代數學符號直到14世紀開始的文藝復興時期才開始流行起來。例如，在引入符號之前，古希臘數學家阿基米德通過使用六邊形來近似圓來推導出pi的值，但是在不使用pi符號——π的情況下這樣做，而π直到18世紀初才被引入來表示數學常數。

左圖：公元前2000年的巴比倫黏土片，上面刻有算術表。

圖片提供：Osama Shukir Muhammed Amin FRCP(Glasg)

右圖：一個信封，上面有阿爾伯特·愛因斯坦在1919年手寫的計算結果。

圖片提供：阿爾伯特·愛因斯坦檔案館，希伯來大學。

隨著數學的進步，數學家和科學家寫下方程式的需求也在增加。19 世紀 70 年代打字機的出現使這項工作變得更容易，但這仍然是一項繁瑣的任務。事實上，許多已發表的論文，包括阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）的論文，他曾三次擔任加州理工學院的客座教授，以及加州理工學院長期擔任物理學教授理查德·費曼（Richard Feynman）的論文，都包含夾在打字文本之間的手寫方程。

愛因斯坦實際上在信封的正面和背面寫字以進行計算，加州理工學院的Robert M. Abbey（羅伯特·艾比）歷史教授兼愛因斯坦論文項目主任Diana Kormos-Buchwald（戴安娜·科爾莫斯-布赫瓦爾德）解釋說。該檔案包括一個1919年的信封，愛因斯坦在上面記下了未確認的計算?！斑@是第一次世界大戰結束后的一年，紙張嚴重短缺。在紙張回收被發明之前，人們再利用了所有的紙張”，她說。

LaTeX革命

Preskill和其他加州理工學院的研究人員回憶起這項發明，這項發明最終減輕了研究人員更換打字機球的負擔。從1970年代后期開始，唐納德·高德納（Donald Knuth，1963年博士）開發了一種名為TeX的排版語言，使研究人員能夠更輕松地打出數學符號。萊斯利·蘭波特（Leslie Lamport）是一名計算機科學家，當時在加利福尼亞州門洛帕克的SRI國際公司工作，他讓TeX更進一步，創建了一個名為LaTeX的文檔準備系統，該系統使用TeX的語言。例如，要在文檔中鍵入符號π，研究人員會將命令“$pi$”寫入LaTeX程序。

“LaTeX改變了我們彼此交流的方式，”理論物理教授Xie Chen（謝晨）說，她和許多其他科學家一樣，在撰寫技術論文甚至給同事的電子郵件時使用TeX語言來表示數學符號。她說，有時，他們甚至懶得把代碼翻譯回數學符號，因為這些代碼在他們的腦海中根深蒂固。

智能手機也改變了科學家交流數學的方式。很容易拍攝圖片并將公式的照片發送給彼此。虛擬白板也變得越來越流行，John D. MacArthur（約翰·麥克阿瑟）理論物理和數學教授Sergei Gukov（謝爾蓋·古科夫）說。Gukov和許多其他研究人員在新冠大流行期間參加了在線數學社區，使他們能夠在類似教室的環境中虛擬地相互聯系，并解決各種數學和科學問題。這些社區由美國國家科學基金會資助的美國數學研究所（AIM）開發，該研究所將于2023年將其總部遷至加州理工學院?！疤摂M白板是這些在線社區的關鍵，感覺非常像真正的黑板，”Gukov說。

視頻會議的日益普及為數學家們彼此交流增加了另一個工具，Preskill說：“有時在Zoom上，你只需在紙上寫一個方程式，然后把它舉到相機前。

模擬之美

即使隨著新的通信工具的出現，一些研究人員也更喜歡老派。Sherman Fairchild（謝爾曼·費爾柴爾德）博士后理論物理學研究助理Monica Jinwoo Kang（莫妮卡·金宇·康）說，她喜歡在黑板上寫方程?！昂诎暹@么大，這有助于我更清楚地思考，”她說。她甚至還有一個最喜歡的粉筆：一個叫羽衣（Hagoromo）的韓國品牌。

“其他粉筆和羽衣之間的區別是驚人的：抓力，手感和有效性，”她說。粉筆有點厚，握持感人，同時防止黑板上出現任何刮擦聲。此外，粉筆毫不費力地書寫，無需施加太大的壓力，也不會弄得一團糟。

馬蒂爾德·馬可利（Matilde Marcolli）是羅伯特·克里斯蒂（Robert F. Christy）數學計算和數學科學教授，她喜歡通過在她的方程上繪畫來創作彩色水彩畫。她說，創作過程有助于她專注于數學研究?！皬哪撤N意義上說，這是一種冥想，你正在看你剛剛寫的計算并思考它們;繪畫的過程有助于在頭腦中形成聯系。這就像一種聯覺形式（synesthesia），數學思想帶有附加的顏色和形狀。

數學家馬蒂爾德·馬可利的水彩畫，以她寫的方程為特色。

圖片提供：馬蒂爾德·馬可利

里奇·阿博特（Rich Abbott）是激光干涉儀引力波天文臺（LIGO）的工程師，他對手寫方程也有類似的親和力，他總是在官方工程文件上手寫方程?！翱吹椒匠淌綄懗鰜碚媸翘昧?，”他說。“他們更人性化，更引人注目。你想了解他們。

新詞典

數學也可以用文字交流。當阿基米德向他的同齡人解釋他如何計算圓周率的值時，他沒有引入一種數學符號的語言。相反，他使用圖片和文字。“我很難理解阿基米德是如何做到這一點的，”Hutchcroft（哈奇克羅夫特）說?！皩δ阏J為事情如何運作有個人的理解是一回事，但向人們解釋你的想法是另一回事。

今天，文字仍然是數學研究的關鍵部分。經濟學和數學教授奧馬爾·塔穆茲（Omer Tamuz）對人們發明的用于解釋數學的單詞很感興趣。

“數學不僅僅是方程式，”他說?！?x=0'，可以寫成'x消失'。數以千計的單詞被發明來表示數學中的對象或函數。有時，發明的單詞很聰明，可以幫助你記住含義。

想想“matroid”（擬陣）這個詞，塔穆茲說。擬陣（matroid）類似于稱為矩陣（matrix）的數學對象，并將向量和圖形等不同概念聯系在一起。“有人編造了這個愚蠢的詞，但它很有用，因為你記得它，它是有道理的，”他說?！?strong>pointless topology”（無點拓撲）是塔穆茲喜歡的另一個數學術語，因為它是個好的“文字游戲”。他說，無點拓撲是指一種思考沒有點的幾何物體的性質的方式，并補充道，他認為將發明的一個數學概念標記為“pointless”（無意義，該單詞的另一含義）是幽默的。

數學的含義是什么？

如果數學可以用文字表達，這對數學的真正本質有什么影響？數學符號僅僅是人類用來表達抽象思想的發明，還是獨立于我們而存在的宇宙基本語言的一部分？

Christopher Hitchcock（克里斯托弗·希區柯克），是J.O.和 Juliette Koepfli（朱麗葉·科普夫利）哲學教授，說在數學和數字的含義方面，有兩個主要陣營。第一組遵循古希臘哲學家柏拉圖提出的想法，柏拉圖認為數學對象是真實的，并且擁有超越我們自己的身份。

“柏拉圖認為，即使我們不存在，數學真理也是正確的，”希區柯克解釋說?！跋胂霂缀螌W中的一條線，它是無限直的，非常薄的。它不是一個物理對象：在我們的世界中沒有任何東西是這樣的。但它仍然獨立于我們而存在。另一種思考方式是問：如果森林里有奇數的樹木，沒有人在那里數它們，那么這個數字仍然是奇數嗎？柏拉圖會說是的。

許多科學家同意柏拉圖的觀點。特別是物理學家經常將數學描述為自然的語言。已故諾貝爾獎獲得者費曼在加州理工學院教授物理學近四十年，直到1988年去世，他在1964年在康奈爾大學的一次演講中說：“對于那些不懂數學的人來說，很難對自然界的美麗，最深層次的美麗產生真正的感覺。...如果你想了解自然，欣賞自然，就有必要理解她所說的語言。

但正如希區柯克所解釋的那樣，其他哲學家認為數學只是科學的發明工具，而不是我們現實的固有部分。紐約大學的 Hartry Field（哈特里·菲爾德）甚至在沒有引用數字的情況下重新表述牛頓力學。菲爾德認為數學描述的結構是虛構的，而不是字面上的真實。為了理解這一觀點，希區柯克舉了一張桌子上三個盤子的例子。他說，有可能在不使用數字3的情況下描述這些盤子。你可以描述每個板塊并指出它們彼此不同。以類似的方式，你可以說每個盤子有六片餅干。你可以使用乘法來計算總共有18片餅干，但你也可以在不使用數字18的情況下推導一個描述句子。他說，像這樣的練習旨在說明數學只是一種工具。

“你可以使用邏輯推理來解釋沒有數字的事情，”希區柯克說?！暗S著數字越來越高，這變得越來越困難。這些數字使計算變得更加簡單。希區柯克本人也相信柏拉圖式的數字觀。他說，它們是真實的，但“以自己獨特的方式”。

數字和數學是否是真實的可能仍然是一個懸而未決的問題，但有一點是明確的：在紙張，數碼平板上涂鴉并用LaTeX編碼的數學著作繼續闡明我們世界的奇跡。Fred and Nancy Morris（弗雷德和南希·莫里斯）生物物理學、生物學和物理學教授羅伯·菲利普斯（Rob Phillips）在《加州理工學院2021年夏季》雜志的一篇文章中回憶說，他的一位研究生院老師的門上有一塊黑板，他曾經告訴他，如果他有什么話要說，他應該用方程式寫下來。“我們在實驗室里說的語言不是英語，而是數學，”菲利普斯說。

審核編輯：劉清