文章來源：中科院物理所

原文作者：Kasper Müller

海森堡

我經常聽到人們講，是因為觀察者通過光子和電子發生相互作用使光子的動量受到了影響，所以才導致了海森堡不確定性原理。

觀察者必須通過影響電子的動量（或一些量子態）來觀察它，這或許是真的，但這不是導致不確定性原理的真正原因！

在開始討論這個話題之前，讓我們先定義海森堡不確定性原理(Heisenberg’s uncertainty principle)。

在量子力學中，存在一系列關于共軛物理量（如位置和動量）的不等式，它們限制了同時測量這些成對物理量的精度，這些不等式中的任意一個都可以被稱為不確定性原理（或是海森堡不確定性原理）。

-維基百科

一種常見的表述方式是，在任何給定的時間點，你都無法同時準確地測量粒子的動量和位置。

這種不確定性不取決于設備的好壞，也不是因為很難消除測量誤差。無論我們做得多好，我們都無法同時精確測量這兩個量（如動量和能量）…

首先，存在許多種不確定性原理，其中不少能在宏觀世界中看到。即使你沒有意識到它們的存在，但其實也一直在和這些現象打交道。

其次，海森堡不確定性原理背后與數學有著密切的關系。

所有波和物質（共軛變量）都必須遵從一系列的不確定性原理，真正導出這些原理的是一個數學事實（稍后詳述）。

音樂、雷達技術、能源技術和光也有必須遵守的“不確定性原理”，我們很快就會看到，是數學決定了這一切。

波

一切都可以歸結為非常簡單的事情。無論多復雜的的信號或函數，實際上都是正弦波的疊加。正弦波是具有特定波長和振幅的波。

疊加僅僅意味著所有的波相互作用，所有波的和（稱為干涉）就是構成更復雜信號的疊加。

也就是說，我們可以將一個函數分解為組成它的更簡單的部分（正弦波）。這幾乎就是我們在計算傅里葉級數的傅里葉系數時所要做的一切。值得的一提的是，這個方法對于非周期函數同樣適用。

這種效果在音樂中是眾所周知的，例如，吉他生中的泛音會干擾主波（弦的頻率）。也就是說，吉他的聲音（以及任何其他樂器，包括你的聲音）是由頻率和振幅不同的正弦波組成的。

當我們描述這樣一個復雜的信號時，我們有兩種等價的方式可以選擇。也就是說，我們可以選擇兩種不同的單位對它進行描述。

我們可以選擇用時間來描述產生干涉圖樣的所有波是如何同時相互作用的，也可以選擇用構成干涉圖樣的正弦波的頻率來描述它。

可以用兩種等效的方式來描述的事件被稱為雙重關系（dual relationship）。

如果我們可以找到一個數學工具來描述時間信號和頻率信號之間的雙重關系，那當然再好不過。事實上，我們確實找到了這樣的工具。

傅里葉變換

我上面提到的描述這種雙重關系的工具叫做傅里葉變換(Fourier transform)。毫無疑問，它是數學工具中最強大、最常用的工具之一。

在給出它的一些特性之前，我們先講一講這種傅里葉變換的一些一般性質：

傅里葉變換是一種積分變換（也就是一個算符），它拿到一個函數并返回另一個函數。

作為函數空間上的一個算符，我們可以把它看作是純數學的客體，但我們可以賦予它很好的物理解釋。在物理和數學領域，我們都可以使用它。

今天，我們主要將從物理學的角度來考慮它。

在下面的討論中，我們假設積分始終收斂。

令是一個可積函數。f的傅里葉變換由以下積分給出：

如果表示聲波隨時間的變化，那么傅里葉變換的結果表示構成聲波的頻率，因此也可以看做是頻率的函數。

下面的動圖顯示了聲波（圖中是單位脈沖信號）是如何由許多正弦波組成的，正弦波的疊加產生了函數，即。

一個脈沖信號的傅里葉變換是一個sinc函數。所有信號都可以用時間或頻率表示的正弦波來構造 來源：Lucas Vieira

理解信號總是可以用兩種等效的表達方式是非常重要的。只要給定其中一個，另一個是唯一確定的，我們有一個公式可以對它們進行計算。如何選擇僅僅取決于我們想用什么方式表達一個信號。

唯一的傅立葉逆變換由以下公式得出：

傅里葉變換的性質

傅里葉變換不是一兩節課就可以講清楚的，我們只能在本文中講點皮毛。然而，傅里葉變換的一些令人驚奇的特性是一定要講的：

首先是平移的影響。假設。通過變量的變換，我們得到：

時間平移（信號延遲）會讓頻率函數產生一個相位移動。那變量的縮放會產生什么影響呢？

假設。我們將分別從a<0和a>0進行討論。

其中使用了代換u=at。讓我們看看當a<0時會發生什么：

進一步我們得到表達式：

它的物理意義是什么？

傅里葉變換的標度特性意味著，如果我們在時間上壓縮信號，相當于在頻率空間（水平）上擴展信號，反之亦然。

我們很快就會發現，這一結果極其重要。

通過維度進行分析可以給我們提供一個更高層次和有啟發性的視角。時間以秒為單位衡量，頻率以1/s為單位進行衡量。似乎可以看出，如果把時間展寬變大，頻率展寬就會變小，反之亦然。

如果你不知道頻率的單位是從哪里來的，我非常能理解你的疑惑。傅里葉變換中的s最終決定了構成信號的正弦波的周期，你可以通過使用歐拉公式將復指數展開為正弦和余弦，或者將傅里葉變換視為一組連續的傅里葉系數來感受這一點。

傅里葉變換有很多炫酷的特性，但由于這不僅僅是一篇關于變換本身的文章，我們將不過多介紹這些特性，感興趣的讀者可以自己來探索這一點。

讀者可能會發現一個讓計算變簡便的特性，即傅里葉變換將求導數轉換為乘以一個常數，這是一個有趣且具有實用價值的特性。這意味著一個空間中的微分方程對應于另一個空間中的代數方程。

因此，一些微分方程可以通過變換方程，用代數方法求解，然后將解變換回來（通過傅立葉逆變換）獲得原本方程的解。

波函數和海森堡不確定性原理

量子物理學家通過可能存在的量子態來描述量子系統（例如粒子）。

描述量子態的函數族被稱為波函數，以位置坐標為變量的波函數的模平方給出了粒子在空間中的概率分布。

因此，我們可以將波函數解釋為概率波，表示粒子位于給定空間區域的概率。因此，描述粒子位置的波函數應該被看作是空間中的波而不是時間中的波。

當我們對這個位置波（位置坐標為自變量的波函數）進行傅里葉變換時，可以得到一個頻率（空間中的頻率）波，它是以粒子動量為自變量的波函數。

仔細想想并不奇怪，因為如果你認為光是波包或物質波，那么動量將由光的頻率給出。

我們用和來表示這種關系。其中γ是波長，h是普朗克常數，p是動量，f是頻率，E是能量。

我們把一個粒子限制在越小的間隔內，位置波函數就越局域化（被水平擠壓）。由于動量波函數是位置波函數的傅里葉變換，動量波函數將被水平拉伸，這意味著動量將有更大的不確定性。這是之前提到的傅里葉變換的標度特性導致的。

事實上，這就是海森堡的不確定性原理！這里只有傅里葉變換起了作用：

其中是普朗克常數，Δx和Δp分別是位置和動量的不確定性（標準差）。

普遍的不確定性

當函數是函數的傅里葉變換時，我們稱和為共軛變量或共軛對。事實上，對于任何共軛函數對，都存在不確定性原理。

海森堡不確定性原理只是共軛變量的特例。

從數學角度來看，為什么共軛變量的不確定性原理成立？原因是：短信號，如聲音脈沖，需要許多頻率不同的正弦波的疊加才能實現，只有許多特定頻率的正弦波的疊加才能保證在一定范圍之外波的振幅接近于0。相反，信號越像正弦波，描述信號所需的頻率就越少。

當你聽到很短的一段聲音時，你很難確定這段聲音包含哪些頻率；但如果你聽到一段持續時間很長的純凈信號，就能夠區分出不同的頻率。這也是不確定性原理。

同樣的，我們對雷達探測的目標的距離知道得越多，對接近或后退的速度就知道得越少，反之亦然。這是多普勒和距離的不確定性。

還有其它許多共軛變量，它們都遵循各自的不確定性原理，它們有一個共同點，那就是它們的成立都是有數學保證的！波的數學只是限制了我們可以從某一量子態中獲取多少信息。

海森堡不確定性原理的影響真實存在

如果你把激光器對準狹縫，光屏會把部分光阻擋在外，對于穿透過去的一部分，接下來會發生神奇的事情。

光線似乎在狹縫后面的屏上擴散開來，如果你讓狹縫變得更窄，那么光會彌散地更開。這似乎和我們的直覺不一致？我們限制它的空間分布，它反而彌漫開來。

這個現象就是由海森堡不確定性原理導致的。隨著狹縫越來越窄，位置波（波函數）越來越局域化（窄），根據不確定性原理，動量波函數的展寬越來越大，這使得越來越多方向的運動成為可能。

由于動量是一個有方向的矢量，這意味著光子在狹縫另一側傳播時彌散的角度變得越來越大，從而在屏上產生了美麗的衍射圖樣。

來源

不確定性還可以解釋為什么太陽會發光，甚至可以解釋為什么霍金輻射的時空現象會讓黑洞縮小。

我希望有一點明確：不確定性是一種純粹的數學現象，但由于量子系統讓這些數學理論照進現實，因此不確定性也可以被看成一種物理原理。

作者：Kasper Müller

翻譯：Nothing

審校：zhenni

原文鏈接：

https://www.cantorsparadise.com/heisenbergs-uncertainty-principle-is-pure-mathematics-e14c840659e1

編輯：黃飛