四元數是簡單的超復數。 復數是由實數加上虛數單位 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數都是由實數加上三個虛數單位 i、j、k 組成，而且它們有如下的關系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 ， 每個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是實數。

　　對于i、j、k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉，其中i旋轉代表X軸與Y軸相交平面中X軸正向向Y軸正向的旋轉，j旋轉代表Z軸與X軸相交平面中Z軸正向向X軸正向的旋轉，k旋轉代表Y軸與Z軸相交平面中Y軸正向向Z軸正向的旋轉，-i、-j、-k分別代表i、j、k旋轉的反向旋轉。

　　四元數（Quaternions）是由愛爾蘭數學家哈密頓（William Rowan Hamilton，1805-1865）在1843年發明的數學概念。四元數的乘法不符合交換律（commutative law），故它似乎破壞了科學知識中一個最基本的原則。明確地說，四元數是復數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數就代表著一個四維空間，相對于復數為二維空間。

　　四元數是除環（除法環）的一個例子。除了沒有乘法的交換律外，除法環與域是相類的。特別地，乘法的結合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

　　四元數形成一個在實數上的四維結合代數（事實上是除法代數），并包括復數，但不與復數組成結合代數。四元數（以及實數和復數）都只是有限維的實數結合除法代數。

　　四元數的不可交換性往往導致一些令人意外的結果，例如四元數的 n-階多項式能有多于 n 個不同的根。