從傅里葉變換到小波變換，并不是一個完全抽象的東西，完全可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。 下面我就按照傅里葉-->短時傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下為什么會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。（反正題主要求的是通俗形象，沒說簡短，希望不會太長不看。。） 一、傅里葉變換 關于傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認大家現在正處在理解了傅里葉但還沒理解小波的道路上。（在第三節小波變換的地方我會再形象地講一下傅里葉變換） 下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號的頻譜，那么為什么還要提出小波變換？答案就是“對非平穩過程，傅里葉變換有局限性”。看如下一個簡單的信號： 做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。 一切沒有問題。但是，如果是非平穩信號呢？ 如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。 做FFT后，我們發現這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號，我們從頻域上無法區分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現的先后順序不同。 可見，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。 然而平穩信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學信號分析等領域的papers中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。 上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對于這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。 二、短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT） 一個簡單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同學的描述了，“把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什么頻率了。”這就是短時傅里葉變換。 看圖： 時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎！ 用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了： ——此圖像來源于“THE WAVELET TUTORIAL” 圖上既能看到300Hz, 200 Hz, 100 Hz, 50 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峰是對稱的，所以大家只用看一排就行了。 是不是棒棒的？時頻分析結果到手。但是STFT依然有缺陷。 使用STFT存在一個問題，我們應該用多寬的窗函數？ 窗太寬太窄都有問題：