永磁直流電機(jī)在控制中，經(jīng)常要用到各種坐標(biāo)變換，同時也會碰到各種電感，如：相電感、線電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等，特別是電感和坐標(biāo)變換結(jié)合后，就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來理解直流電機(jī)電感其中的關(guān)系。

電感：1824年，奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流效應(yīng)，在通電導(dǎo)體周圍的磁針會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，也就是電生磁，后來，法拉第和亨利發(fā)現(xiàn)了磁也能生電，在移動的磁場能會在導(dǎo)體中感應(yīng)出電流，這就是現(xiàn)在所說的電磁感應(yīng)，數(shù)學(xué)工程式為：

e：感應(yīng)電壓

dф/dt：磁通的變化率（單位Wb/s）

法拉第發(fā)表電磁感應(yīng)論文不久，楞次發(fā)現(xiàn)了決定感應(yīng)電流方向的規(guī)律，也就是楞次定律：感應(yīng)電流的磁場總要阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，所以完整數(shù)學(xué)公式為：

直流電機(jī)中控制中的自感與互感

在安倍定律中：磁場產(chǎn)生的根本原因是電流（可以是導(dǎo)體中的電流，也可以是永磁體中的電流）。如下圖所示，一個線圈通電后，就會產(chǎn)生磁場

線圈本身就處于自身產(chǎn)生的磁場中，也就意味著線圈中也會產(chǎn)生磁通磁通，這個量對于我們來說不直觀，也不好測量，既然磁通是由電流產(chǎn)生的那我們可以借助電流來表示，所以電感的定義是：

單位是Henry（亨利），一位美國物理學(xué)家，他其實(shí)和法拉第幾乎同時獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，只不過法拉第更早的發(fā)表了成果，就贏得了冠名權(quán)。

我們通常說的電感，嚴(yán)格來說應(yīng)該叫自感，即線圈自己對自己產(chǎn)生磁通的能力。

既然有自感，就會有互感，即兩個線圈之間互相產(chǎn)生磁通的能力。

在直流電機(jī)中，電感非常重要，它表達(dá)了在某個特定機(jī)構(gòu)中電流產(chǎn)生的磁場能力，電感確定了，我們就能很容易去研究磁場的性質(zhì)。

什么是磁動勢？

電感的定義是由磁通來定義了，要計(jì)算線圈的電感，先就要計(jì)算線圈通電后產(chǎn)生的磁場，由此來計(jì)算磁鏈，如，直流電機(jī)內(nèi)磁路為線性，鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場的搞次諧波也可忽略，直流電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子表面光滑，齒、槽影響可以用卡式系數(shù)修正，直軸和交軸氣隙可以不等，但是氣隙的比磁導(dǎo)可以用平均值加二次諧波來表示

上圖為直流電機(jī)定子槽內(nèi)兩極整距線圈的情況， ⊙為流出，為流入。根據(jù)安培環(huán)路定理，其磁動勢分布圖為：

磁動勢的幅值為

對方波進(jìn)行傅里葉級數(shù)分析，可知其可由1、3、5，...等奇次諧波組成，其中1次諧波也稱之為基波，其幅值為：

上面分析的是一對極情況，現(xiàn)在假設(shè)是p對極，每相繞組總匝數(shù)為Nph，則A相基波幅值為：

上面分析時繞組都認(rèn)為是整距，且每極每相只有一個槽，實(shí)際電機(jī)很少這種情況，大多每極下面是多槽的，而且還是短距：

我們一般用一個繞組因數(shù)kω1來對基波磁動勢進(jìn)行修正，其幅值為：

直流電機(jī)的相電感與互感計(jì)算

根據(jù)基波磁動勢的幅值，則其沿定子分布為：

有了磁勢，如果能知道磁導(dǎo)（磁阻的倒數(shù)），那就能計(jì)算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機(jī)而言，氣隙基本不變，因此磁導(dǎo)和直流電機(jī)轉(zhuǎn)子的位置沒有關(guān)系；但是對于直流電機(jī)而言，氣隙沿轉(zhuǎn)子圓周方向一直變換（變化周期是極對數(shù)的兩倍），因此磁導(dǎo)還和轉(zhuǎn)子位置相關(guān)。

由于dq軸是定義在直流轉(zhuǎn)子上的，因此我們可以通過d軸與A相繞組的夾角θ來表示轉(zhuǎn)子所在的位置。

計(jì)算相電感

氣隙比磁導(dǎo)為：

λ(a)=λδ0+λδ2cos2(a+θ)

式中因?yàn)闅庀堕L度變換周期是極對數(shù)的2倍，因此有個2次分量，而且當(dāng)直流電機(jī)類型為內(nèi)嵌式時，?λδ2為負(fù)值，即d軸時磁阻最大，磁導(dǎo)最小。

氣隙磁動勢和比磁導(dǎo)的相位關(guān)系為：

則氣隙磁密為磁動勢乘以比磁導(dǎo)：

Bδ(a)=Fa1cosa·(λδ0+λδ2cos2(a+θ))

展開成諧波疊加的形式：

所以基波氣隙磁密為：

則A相繞組對應(yīng)的磁鏈為：

其中?Lσ為A相漏感，τ為極距，l?疊片長度，上式整理可得：

進(jìn)一步整理可得：

所以A相自感為：

即：

換一種表達(dá)方式：

可見，A相繞組的自感不是一個固定值，而是隨轉(zhuǎn)子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為：

Lbb=Ls0+Ls2cos2(θ-2π/3)

Lcc=Ls0+Ls2cos2(θ+2π/3)

計(jì)算相間互感

由于B相繞組與A相繞組空間相差120°，其與自感方式基本相同，只需將積分區(qū)間由[-π/2?π/2]修改為?[-π/2-2π/3?π/2-2π/3]?，即可以計(jì)算A相繞組電流產(chǎn)生的磁場在B相繞組中感應(yīng)出的磁鏈，具體為：

其中Mσ為互漏感，可以獲得A、B相互感為：

同理可獲得其他兩相的互感為：

直流電機(jī)的自感和互感如下圖所示：

如何計(jì)算dq軸電感？

一般的直流電機(jī)都會用dq軸電感表示，那么問題來了：dq軸電感如何計(jì)算或測量？和相電感及互感有什么關(guān)系？dq電感和坐標(biāo)變換有什么關(guān)系？

如何確定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣？

算電感是為了算磁鏈，進(jìn)而去計(jì)算磁場的某型性質(zhì)，通過一系列公式，終于把三相繞組的自感和互感計(jì)算出來了。

那磁鏈就可以計(jì)算：

電感矩陣非常復(fù)雜：

而且這個電感矩陣還隨之直流電機(jī)轉(zhuǎn)子的變化而變化著，可以找到一個相似矩陣，這個相似矩陣呢形式比較簡單，只有對角線上有數(shù)，而且這個相似矩陣能表征原矩陣的關(guān)鍵特征。矩陣對角化本質(zhì)就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數(shù)。那電感矩陣是不是可以進(jìn)行對角化呢？

可以按照矩陣對角化的步驟：

Del|Ls-λI|=0

可以得到三個特征值，分別是：

其中特征值λ1對應(yīng)的特征向量是：

特征值λ2對應(yīng)的特征向量是：

特征值?λ3對應(yīng)的特征向量是：

則3個特征向量可以組成如下特征矩陣：

這個特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積，該特征矩陣的逆矩陣為：

則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來計(jì)算，即

一般稱λ1為Ld；

λ2為Lq；λ3為L0，即：

dq軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值，dq電感是一個常量了，cos2θ等變化因子消失了，也就是說通過對角化（坐標(biāo)變換），原先較為復(fù)雜的電感矩陣對角化和常數(shù)化了，是定子的磁鏈方程解耦了！同時：dq軸電感與變換矩陣無關(guān)，是電感矩陣的固有屬性。

恒功率變換

在坐標(biāo)變換的時候，有的變換矩陣前面有個系數(shù)2/3 ，有的是

，有的又沒有，這到底有什么關(guān)系呢？

電壓矢量、電流矢量以及磁鏈?zhǔn)噶康年P(guān)系為：

電感對角畫的時候求取了變換矩陣C?，現(xiàn)在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈?zhǔn)噶恳策M(jìn)行坐標(biāo)變換：

Us=Cu’s

is=Ci’s

Ψs=CΨ’s

則變換后的功率為：

P=isTus=(Ci’s)T(Cu’s)=(i’s)T(CTC)u’s

把C?和CT?代入上式，就可以得到：

不考慮零軸分量，發(fā)現(xiàn)變換后的功率是變換前的3/2倍！也就是說，變換前后功率不守恒了，那通過功率計(jì)算的轉(zhuǎn)矩就會不準(zhǔn)確了，需要進(jìn)行修正。

把特征矩陣變?yōu)橄旅孢@個就可以做到功率守恒

這個矩陣也是最常用的變換矩陣。

dq軸電感測量方法

通過建立直流電機(jī)模型，就要知道dq軸電感，兩種方式，一種是計(jì)算，一種是測量。計(jì)算比較容易，建立直流電機(jī)的有限元模型，現(xiàn)在的電磁計(jì)算軟件都有電感矩陣計(jì)算功能，計(jì)算出來求特征值就行了，有的軟件都能直接給出dq軸的電感。

一般來說有2種方式來測電感，一種是通過三相繞組，一種是通過兩相繞組。

用三相測dq軸電感

將B、C兩相繞組并聯(lián)在一起，形成一個新的端點(diǎn)，用LCR表或其他裝置測量該端點(diǎn)和A相繞組端點(diǎn)之間的電感。

此時因?yàn)椋?/p>

B相繞組和C相繞組并聯(lián)，具有相同的磁鏈，因此只計(jì)算B相繞組的磁鏈：

則總的磁鏈為：

Ψ=Ψa-Ψb

則等效電感為：

當(dāng)θ=0時：

當(dāng)θ=±π/2時：

可見，當(dāng)直流電機(jī)轉(zhuǎn)子合適的位置測電感時，可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個難點(diǎn)就是如何知道轉(zhuǎn)子此時的位置，一個近似的測法是緩慢的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子，記下電感的最大值和最小值，此時：

用兩相測dq軸電感

用兩相繞組也可以直接測量，比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。

此時，B相繞組的磁鏈為：

Ψb=(Lbb-Lbc)i

B相繞組的磁鏈為：

Ψc=(Lbc-Lcc)i

總的磁鏈為：

Ψ=Ψb-Ψc

等效電感為：

同樣，緩慢的旋轉(zhuǎn)直流電機(jī)轉(zhuǎn)子，記下電感的最大值和最小值，此時：

由于直流電機(jī)是比較復(fù)雜的電磁產(chǎn)品，里面電感構(gòu)型比較復(fù)雜，既有自感又有互感，電感之間既有并聯(lián)，也有串聯(lián)，電感串聯(lián)和并聯(lián)的特性非常重要

同向串聯(lián)電感

上圖描述了兩個繞向相同的電感串聯(lián)時的模型，其中用黑點(diǎn)表示繞組電流流入方向，電流和磁鏈方向如圖所示。

第一個電感產(chǎn)生的總磁鏈為：

Ψ1=L1i1+|M|i2

第二個電感中產(chǎn)生的總磁鏈為：

Ψ2=L2i2+|M|i1

兩個電感中的電流方向相同：

i1=i2

兩個電感等效成一個電感時，總的磁鏈為：

Ψ=Ψ1+Ψ2=(L1+L2+2|M|)i

則等效電感為：

反向串聯(lián)電感

此時兩繞組繞向相反，由于定義的電流正方向?yàn)槔@組的流入方向，在此規(guī)定下，兩繞組的電流數(shù)值關(guān)系是：

i1=-i2

所以總的等效磁鏈為：

Ψ=Ψ1-Ψ2=(L1+L2-2|M|)i

則等效電感為：

同向并聯(lián)電感

兩個電感并聯(lián)時是比較反直覺的，下面我們就來仔細(xì)分析一下。上圖是繞向相同的兩個電感并聯(lián)時情況，此時，由基爾霍夫電壓定律每個電感兩端的電壓應(yīng)該是一致的。即：

對于第一個電感：

對于第二個電感：

由基爾霍夫電流定律：

i=i1+i2

整理可得：

所以等效電感為：

反向并聯(lián)電感

兩電感方向繞向相反，則根據(jù)基爾霍夫電壓定律：

由基爾霍夫電流定律：

i=i1-i2

可計(jì)算的等效電感為：

簡單來說：

當(dāng)兩電感串聯(lián)時：Ls-L1+L2±2M?，繞向相同時為+，繞向相反時為-；

當(dāng)兩電感并聯(lián)時：

，繞向相同時為+，繞向相反時為 -。

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