上海交通大學 蔡 子 編譯自Pedram Roushan. Physics World，2022，(4)：24

本文選自《物理》2022年第5期

由于其迷人的魅力，晶體在過去幾個世紀里一直吸引著我們的注意。人們所熟知的晶體，從雪花到鉆石，通常都是由原子或分子在空間中規則排列所構成的。對晶體的研究幫助我們建立了一整套框架，可以用于理解其他的空間有序相，例如超導體、液晶和鐵磁相。

周期性振蕩是另外一個無處不在的現象。小到原子，大到行星，它可以出現在任何尺寸的系統中。多年來，我們用它們來標記時間的流逝，它甚至讓我們思考實現永動機的可能?？臻g和時間上的周期模式的一個共同特點是他們都降低了系統的對稱性：周期結構明顯破缺了時間或者空間上的連續平移對稱性。

在物理學中，空間與時間通常具有密切的關聯。因此如果一個多粒子體系能夠顯示出空間上的周期性，那么可以很自然地聯想到這種周期模式是否能夠自發地出現在時間維度。當系統的基態并不滿足系統本身的對稱性時，意味著系統發生了自發對稱破缺。最為常見的例子便是在自然界中廣泛存在的晶體，其連續平移對稱性被破缺，取而代之的是空間中的離散平移對稱性。

空間周期與時間周期

在過去的十年中，物理學家一直在思考，基態具有自發時間平移對稱性破缺的系統是否能夠存在。空間平移對稱性的破缺似乎與時間平移對稱性的破缺有著很大的不同。一般來說，空間成序的系統往往由多個相互作用的粒子組成，而時間上呈現周期振蕩的系統通常只有很少的幾個自由度(圖1(a))。事實上我們一般很難找到多個相互作用粒子一起周期振蕩的例子。

圖1 時間晶體的挑戰? (a)即使存在一些擾動，由相互作用粒子組成的系統所具有的空間周期序依然穩定，由此形成了我們所熟知的晶體相。然而時間周期序通常只對一個或幾個粒子的系統來說是穩定的;? (b)當磁場穿過一個超導環，會在環中產生一個持續的電流。維爾切克提出如果粒子間是具有相互作用的，就可能產生一個振蕩的電流，但是后續被證明這種振蕩的電流在平衡態中是不穩定的;? (c)熱力學第二定律指出，一個大尺寸孤立系統的熵是不會減少的。通常來說，受到驅動的系統會通過從驅動裝置中吸收能量從而達到熵最大的狀態。然而在多體局域化系統中，系統的熵則會穩定在一個較小的值從而允許時間序的存在

是否可能找到一個相互作用的可以在無限長的時間內持續振蕩的多體系統？雖然確實在一些多體系統中可以觀察到集體同步的振蕩，例如聲子或質點彈簧系統，但是這些振蕩在孤立的多體系統中一般無法持續。即使能夠持續，往往需要對其初始構型進行高度調節，而這種對初態的高度依賴性使其不能構成一個新的物相。

在相互作用多粒子系統中時空周期性的顯著差異有些出人預料，畢竟愛因斯坦的相對論已經將時間和空間統一成了一個整體。盡管通過洛倫茲變換將時空坐標聯系起來，卻并不意味著時空維度的完全等價，因為還存在著因果律的約束。

面對熱力學第二定律

對于時間的正向、反向演化，或者對于一個給定的方程來選擇任意的初始時間，物理基本定律都具有不變性。但熱力學第二定律則是一個例外。

熱力學第二定律告訴我們，任何一個孤立的多體系統都會自發地演化至其平衡態的構型，在此構型下我們不能通過對局域量的測量來分辨時間的流逝。這種在時間上具有的同質性與我們想要建立一個穩定的時間序(時間上的周期結構)相矛盾。這種矛盾使得對時間晶體的研究極具挑戰性。

在一個開放系統中，系統可以與外界發生能量交換，封閉系統的熵理論不再適用，因而我們可以通過調節系統的參數來建立一個穩定的時間序。然而在我們的定義中，時間晶體是一個孤立相互作用多體系統，其可以在無限長的時間內進行振蕩。因此系統中大量粒子自由度的存在是這一定義的關鍵。

舉例來說，在超導體約瑟夫森結中觀測到的振蕩并不構成時間晶體。盡管這些振蕩能夠永久地持續下去，但是整個超導體的自由度十分有限：在極低溫下成對的電子被綁定在一起形成庫珀對，進而形成一種宏觀相干態。其中，不同庫珀對的相位自由度都被凍結，就像當我們翻轉一個硬幣時，其中所有的原子只能跟著一起運動，而不能各自獨立運動。

十年探索

2012年，諾貝爾獎得主弗蘭克·維爾切克第一次提出了一個機制來實現一種永久的周期振蕩。他建議用小磁場穿過一個超導環，從而在其中產生一個無限期循環的電流。然而這個自發產生的電流雖然是一個永久的運動但并不是一個永久的振蕩，因為在每個時刻，環上電子密度分布都是均勻且相同的。

維爾切克提出可以在循環流動的庫珀對中引入一個比較弱的相互作用使得它們能夠束縛在一起。這將會導致在這一系統的基態中，粒子密度在環上出現不均勻的分布，而這種空間不均勻的狀態一旦出現流動，會呈現出一種清晰的振蕩(圖1(b))。然而2014年，物理學家渡邊悠樹和押川正毅通過考慮系統在平衡態下所需要滿足的一些隱含條件否定了這一結論。他們更進一步提出了“不可行定理”，該定理證明具有非長程相互作用的系統不可能在其基態或熱力學平衡態下形成時間晶體。

局域化導致穩定

因此為了能夠穩定地得到時間序，不可避免地要跳出平衡態的限制。一個最簡單的解決辦法是通過將具有周期性的脈沖施加到系統上使其遠離平衡態。從表面上看，選擇周期驅動的系統似乎違背直覺，因為這類系統一般會不斷地從驅動中吸收能量并朝著熵最大的狀態演化進而毀掉所有的序。然而最近的研究表明，如果系統本身具有一個很強的無序，則這種無序能夠避免系統不同能級之間的能量交換，進而防止系統的熵一直增加。滿足這一條件的系統被稱為多體局域化系統。

由于熵理論的存在，大多數系統會通過與外部環境進行能量交換抹除對初始信息的記憶，進而達到熱力學平衡態。但是對于多體局域化的系統來說，無序結構會使其無法達到熱力學平衡態，從而可以無限期地保留對初態信息的記憶。系統的熵最終穩定在一個較小的值，因此可以允許時間序的存在。

盡管存在周期驅動，能量的凈流動卻變為零，熵的穩定值會低于其可能的最大值(圖1(c))。雖然熱力學第二定律要求一個孤立系統的熵不會隨著時間減少，但熵的飽和值低于其可達到的最大值并不違背該定律。熱力學第二定律只要求系統熵的變化率始終不為負數，可以為零或其他正值。

借助多體局域化系統的穩定性

當一個系統處于平衡態時，它不會再與周圍環境發生凈的能量流動也不會有新的熵產生。許多理論和實驗的研究表明，多體局域化的系統也會有這些特性，但是其本質卻與平衡態相差甚遠。因此它可能是唯一可以產生穩定時間晶體相的系統。迄今為止，所有已知的經典系統都沒有辦法維持無限期的振蕩。

多體局域化的系統究竟有多穩定？我們又能否確定它們不能達到最大熵的平衡態呢？事實上，迄今為止，二維和三維多體局域化系統是否穩定依然是一個有爭議的問題。2006年美國的研究者指出，一維的多體局域化系統能夠在任意級微擾展開下維持它們局域化的性質。然而，這并不能排除亞穩態的情況，很有可能只是系統的熱化時間極長，才在有限時間下顯現出局域化的特征。但是2016年，弗吉尼亞大學的喬治·帕里西在某些特定的系統中，對幾乎所有非微擾的效應進行了排除，使得對多體局域相的研究有了突破性的進展。

建立一種新物相

即使我們已經觀測到時間序存在的證據，但是將它稱為一個新的物相需要滿足一定的規范和要求。我們需要排除目前觀測到的證據只是一個短時間行為或者只是一個在極小參數范圍內精確調節結果的可能性。為了實現這一目的，我們將考慮以下4個因素來測試時間響應的剛性：(1)為了建立一個非平衡的物相，我們需要考慮系統在無限長時間這一極限下的情況；(2)在熱力學中，物相只有在無限大尺寸的極限下才能被精確定義；(3)證明一個相具有穩定性需要保證它的本征模式對于施加在其運動方程上的任何微擾都是穩定的；(4)它不具有對初始構型的依賴性。

通過使用谷歌的“懸鈴木”量子處理器，我們在噪音中程量子計算機上實現了第一個令人信服的對時間晶體相的觀測，并通過了上述檢驗標準。(i)為了探究無限長的時間響應并證明觀測到的振蕩并不是短暫的，我們設計了一個時間反轉方案來區別內在的動力學與外部的退相干(圖2(a))。這使我們能夠從一個由20個量子比特組成的鏈中觀測到穩定的時間周期序。(ii)為了證明觀測到的振蕩能夠存在于更長的鏈中，我們演示了有限尺寸標度，從而能夠確定相變的參數(圖2(b))。(iii)我們也證明了這種序能夠在一個很大的參數范圍內被觀測到，而且這個系統的確是局域化的。

最后，(iv)我們利用了“量子典型性”的概念來表明對于任何初態來說都會存在持續的振蕩。典型性理論指出從希爾伯特空間中任意挑選出的一個純態，對于該純態計算物理量的期待值能夠很好地符合運用統計系綜平均所得到的結果。因此，利用典型性我們可以規避從整個能譜中抽樣所花費的指數級代價，并有效地確定所有初態的響應。

圖2 通過使用由20個量子比特所組成的鏈，谷歌的量子人工智能團隊驗證了實現穩定物相的所有要求? (a)在排除了退相干的影響之后，他們提供了有力的實驗證據，證實觀測到了一個穩定的而非短暫存在的振蕩，同時這也是時間晶體存在的信號;? (b)他們測試了不同長度的鏈并指出，時間晶體序參量在相變之前會隨著系統尺寸增大而變小，而在相變點之后則相反。對于這類物相的逐步驗證是在之前的實驗工作中從未有過的

實現一種動力學相

我們通過一種獨特的方式在量子處理器上實現了一個時間晶體相。因為所有的計算通常由處理器通過一系列被稱為量子門的邏輯運算來實現。這種運算和系統本身的動力學并沒有聯系，在技術層面，預期的哈密頓量并沒有在處理器上實現。在這種計算中，量子處理器的使用方式和經典計算機是大致相仿的。

然而，這種建立動力學相的方法有著根本的不同。問題在于一個穩定的相究竟是否能從一個含有驅動的多體孤立系統中產生。對于這類問題的探索，量子計算機是一個天然的平臺。但是這一結果對于動力學相的完全實現仍然有一些距離：判斷系統在熱力學極限下的響應依然是一個巨大的挑戰，因為系統的相干時間終歸是有限的。這一工作的核心成就便是設計了一種實驗方法為下一步的外推提供了基礎。

正如這一結果中展示的那樣，我們發展的方案具有一般性并且建立了一種可擴展的研究方法，可以被用于在噪聲中程量子計算機上研究非平衡物相。

編輯：黃飛

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