作者：Peter Galan

掌握如何減少噪聲，使用中斷服務(wù)例程，以及更多關(guān)于PID控制傳遞函數(shù)的信息。

雖然在 s 域中處理控制系統(tǒng)是完全合乎邏輯的，因?yàn)槭芸叵到y(tǒng)是連續(xù)（時(shí)間）運(yùn)行的，但控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)是另一回事。現(xiàn)在，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是基于微處理器（微控制器）或數(shù)字信號(hào)處理器的數(shù)字系統(tǒng)，如圖 1所示。

▎圖 1 ：此框圖顯示了一個(gè)數(shù)字閉環(huán)控制系統(tǒng)。

用于離散時(shí)間控制系統(tǒng)的 PID

模擬 PID 控制器，仍然被認(rèn)為是非常強(qiáng)大的（圖 2），可以修改為離散時(shí)間控制系統(tǒng)，因?yàn)閷⑵湮⒎址匠蹋ǖ仁?1）重寫(xiě)為其差分形式（等式 2）并不困難。

其中 u[n] 是當(dāng)前時(shí)間 n 的驅(qū)動(dòng)值，e[n] 是時(shí)間 n 的調(diào)節(jié)誤差， e [n-1] 是前一采樣時(shí)間 n-1 的調(diào)節(jié)誤差。T 是采樣的時(shí)間段。相同的時(shí)間段 T 用于信號(hào)處理，即用于 u[n] 的計(jì)算。

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用，等式 2 需要從積分部分開(kāi)始進(jìn)行某些修改。積分部分將調(diào)節(jié)誤差的每個(gè)值相加，然后將該和乘以時(shí)間常數(shù)和積分常數(shù)。如果時(shí)間或積分常數(shù)的值突然變化（這可能發(fā)生，尤其是在整定過(guò)程中），則驅(qū)動(dòng)值將突然變化并導(dǎo)致問(wèn)題。更好的方法是先將調(diào)節(jié)誤差乘以這兩個(gè)常數(shù)，然后再累加其乘積。通過(guò)使用梯形近似積分代替矩形近似積分，可以從另外一方面實(shí)現(xiàn)改進(jìn)。

?如何減少噪聲？?

等式 2 的導(dǎo)數(shù)是問(wèn)題的第二個(gè)來(lái)源。在其簡(jiǎn)單形式中，該成員往往是噪聲。為了減少噪聲，可以使用兩個(gè)以上（例如四個(gè)）連續(xù)的調(diào)節(jié)誤差采樣。結(jié)果就好像調(diào)節(jié)誤差的差值通過(guò)了一個(gè)微小的（4 階）有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器。修改后的 PID 公式如下等式 3 所示。該差分方程可以在任何編程語(yǔ)言和任何微處理器 / 微控制器中實(shí)現(xiàn)。

?中斷服務(wù)程序?

盡管如此，關(guān)于采樣 / 處理周期 T 還有一個(gè)懸而未決的問(wèn)題。控制過(guò)程周期（頻率）是多少，它取決于什么？控制頻率僅取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)。請(qǐng)記住，這個(gè)時(shí)間常數(shù)可以比受控系統(tǒng)本身的時(shí)間常數(shù)小一個(gè)數(shù)量級(jí)。最佳情況下，運(yùn)行控制程序的頻率應(yīng)比閉環(huán)時(shí)間常數(shù) τ 的值高 5 到 10 倍。在控制過(guò)程開(kāi)始運(yùn)行之前，應(yīng)具有 r[n] 和y[n] 的最新樣本。

最好的安排是，如果控制程序被稱(chēng)為中斷服務(wù)例程（ISR），則由提供 y[n] 值的 A/D轉(zhuǎn)換器觸發(fā)。控制程序計(jì)算的結(jié)果，即執(zhí)行變量 u[n]，應(yīng)盡快發(fā)送到 D/A 轉(zhuǎn)換器。否則，受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將受到傳輸延遲的影響，這可能會(huì)破壞控制系統(tǒng)（使其不穩(wěn)定）。

為了避免噪聲，必須徹底過(guò)濾所有測(cè)量變量，如 y(t)信號(hào)，因?yàn)樵肼暱偸强梢詮耐獠繚B透到控制系統(tǒng)中，例如，由電子部件（主要是開(kāi)關(guān)電源）引起的板載噪聲。它們應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)目够殳B濾波器，并且截止頻率遠(yuǎn)低于采樣頻率 1/T 的一半。如果由于某種原因，它們無(wú)法通過(guò)適當(dāng)?shù)哪M濾波器進(jìn)行過(guò)濾，則至少應(yīng)過(guò)采樣并進(jìn)行數(shù)字濾波。

▎圖 2: PID 控制器根據(jù)比例、積分和微分分量計(jì)算驅(qū)動(dòng)值

?關(guān)于 PID 控制傳遞函數(shù)的更多信息?

等式 3 不是實(shí)現(xiàn)離散 PID 控制器的唯一方法。另一種可能性是將 PID 控制傳遞函數(shù)從其 s 域（等式 4）轉(zhuǎn)換為 z 域。實(shí)際上，這種轉(zhuǎn)變有兩種方式。兩者都是從離散時(shí)間積分的不同近似推導(dǎo)而來(lái)的。最常見(jiàn)的近似離散時(shí)間積分是矩形（等式 5）和梯形（等式 6）近似。

如果在 z 域中表達(dá) ，對(duì)于矩形近似，您將得到

這是梯形近似的結(jié)果 ：

等式 7 和 8 對(duì)應(yīng)于積分項(xiàng)，其在 s 域中表示為 1/s。因此，如果取等式 7 右側(cè)的倒數(shù)（s），并用其替換等式 4中的每個(gè) s 算子，則會(huì)得到 PID 補(bǔ)償?shù)囊韵聜鬟f函數(shù)（在z 域中）：

類(lèi)似地，如果取等式 8 右側(cè)的倒數(shù)，并用其替換等式 4 中的每個(gè) s 算子，則會(huì)得到以下 PID 補(bǔ)償?shù)膫鬟f函數(shù)（在 z 域中）：

?z 域中的控制系統(tǒng)建模?

等式 9 和等式 10 適用于在 z 域中對(duì)控制系統(tǒng)建模（例如在 Matlab 中），但不能由任何控制器直接實(shí)現(xiàn)。然而，在對(duì)等式 9 進(jìn)行 z 逆變換后，您將得到以下等式

和等式 10 的 z 逆變換 ：

等式 11 和等式 12 非常適合在任何微處理器（微控制器）或數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn)。如果將 K1、K2 和 K3作為預(yù)先計(jì)算好的常數(shù)（而不是變量），整個(gè)控制過(guò)程將需要三次乘法、四次加法并需要記住四個(gè)先前計(jì)算的變量——兩個(gè)調(diào)節(jié)誤差 e[n-1] 和 e[n-2]，以及兩個(gè)驅(qū)動(dòng)變量 u[n-1] 和 u[n-2]（僅適用于等式 12）。e[n] 計(jì)算需要一次減法。

?無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器

您可以進(jìn)一步優(yōu)化控制程序。數(shù)字信號(hào)處理行業(yè)有非常流行的遞歸濾波器，即所謂的無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器。通常，它們是級(jí)聯(lián)二階濾波器。圖 3 顯示了一個(gè)這樣的二階濾波器，通常稱(chēng)為“雙二階”，轉(zhuǎn)換為其標(biāo)準(zhǔn)形式，即級(jí)聯(lián)形式 II。

▎圖 3 ：二階規(guī)范 IIR 濾波器部分用作 PID 控制器。

實(shí)現(xiàn)這種雙二階需要更少的內(nèi)存空間，只需要記住兩個(gè)狀態(tài)變量 d[n-1]、d[n-2]，而不是四個(gè)變量。標(biāo)準(zhǔn)無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器段由以下兩個(gè)差分方程描述 ：

盡管選擇有限，但 A1 和 A2 的值仍然有選擇的余地。然而，必須遵守兩條規(guī)則 ：A1 和 A2 值的總和必須始終為1.0，并且任何值都不能大于 1.0。因此，可以使用的 A1和 A2 系數(shù)如，值 1.0 和 0，或 0.5 和 0.5，或 0 和 1.0，或介于兩者之間的任何值。

最后一種組合，其響應(yīng)與等式 12 的相同。A2 值越低，控制系統(tǒng)響應(yīng)越快。這可以簡(jiǎn)化整定過(guò)程，因?yàn)槟梢詫?KI 常數(shù)（以及 KP 和 K D 值）設(shè)置為某個(gè)合理的值，而不是頻繁修改 KI 值（如果您想使 KP 和 K D 值達(dá)到最優(yōu)則需要重新計(jì)算，即取消受控系統(tǒng)的極點(diǎn)），例如，將 KI 調(diào)整為值 10/(τ1+τ2)（其中 τ1 和 τ2 是受控系統(tǒng)的主要時(shí)間常數(shù)），并通過(guò)調(diào)整 A1 和 A2 值完成最終的整定。

?并非每個(gè) PID 實(shí)現(xiàn)都令人滿(mǎn)意?

雖然在必須實(shí)現(xiàn)任何算法問(wèn)題時(shí)有一個(gè)選擇總是很好的，但并非每個(gè)實(shí)現(xiàn)都能提供令人滿(mǎn)意的結(jié)果。這同樣適用于本文所描述的 PID 控制過(guò)程。理論上，所有這些過(guò)程在紙面上都很好地工作，但是當(dāng)實(shí)施時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

雖然第一個(gè)公式，等式 3 的實(shí)現(xiàn)需要比其余兩個(gè)更多的數(shù)學(xué)運(yùn)算（乘法、加法）和記住更多先前的結(jié)果，但它提供了非常平滑的結(jié)果。等式 11 的行為也類(lèi)似。然而，等式 12 的實(shí)現(xiàn)將無(wú)法產(chǎn)生令人滿(mǎn)意的結(jié)果，因?yàn)樗诜€(wěn)定邊緣上運(yùn)行，其輸出將永久振蕩。等式13/14 將正常工作，但 A1 系數(shù)必須保持 >0，否則的話(huà)，其行為將與等式 12 實(shí)現(xiàn)完全相同，并產(chǎn)生永久振蕩。

關(guān)鍵概念：?

■ 檢查在離散時(shí)間控制系統(tǒng)中使用 PID的選項(xiàng)。

■ 掌握如何減少噪聲，使用中斷服務(wù)例程，以及更多關(guān)于 PID 控制傳遞函數(shù)的信息。

編輯：黃飛