傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換：

　　傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析

　　傅里葉變換可以看作傅里葉級(jí)數(shù)的極限形式，也可以看作是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

　　除此之外，傅里葉變換還是處理信號(hào)領(lǐng)域的一種很重要的算法。要想理解傅里葉變換算法的內(nèi)涵，首先要了解傅里葉原理的內(nèi)涵。

　　傅里葉原理表明：對(duì)于任何連續(xù)測(cè)量的數(shù)字信號(hào)，都可以用不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加來表示。

　　傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào)。

　　傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對(duì)的是非周期性函數(shù)，它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加。

　　傅里葉級(jí)數(shù)

　　 周期函數(shù)

　　凡是滿足以下關(guān)系式：

　　（T為常數(shù)） 的函數(shù)，都稱為周期函數(shù)。

　　傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

　　傅里葉級(jí)數(shù)是一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)周期性現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，其在理論和應(yīng)用上都有重要價(jià)值。

　　1）收斂性

　　傅里葉變化與傅里葉級(jí)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系

　　傅里葉級(jí)數(shù)是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換

　　傅里葉級(jí)數(shù)是以三角函數(shù)為基對(duì)周期信號(hào)的無窮級(jí)數(shù)展開，如果把周期函數(shù)的周期取作無窮大，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)取極限即得到傅里葉變換。

　　傅里葉變換是從傅里葉級(jí)數(shù)推演而來的，傅里葉級(jí)數(shù)是所有周期函數(shù)都可以分解成一系列的正交三角函數(shù)，這樣，周期函數(shù)對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)即是它的頻譜函數(shù)

　　傅里葉級(jí)數(shù)是周期信號(hào)的另一種時(shí)域的表達(dá)方式，也就是正交級(jí)數(shù)，它不同頻率的波形的疊加，而傅里葉變換就是完全的頻域分析

　　傅里葉級(jí)數(shù)

　　為什么要有傅里葉級(jí)數(shù)

　　傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）來描述任何周期函數(shù)的一種方法。圖1中的三條曲線分別是周期為1秒的方波，正弦波和三角波。由于正弦和余弦只有相位差，故統(tǒng)稱正弦波。

　　圖1. 周期為1秒的方波，正弦波，三角波

　　在介紹傅里葉級(jí)數(shù)之前，讓我們先來回顧一下級(jí)數(shù)的概念。級(jí)數(shù)是用一個(gè)無窮數(shù)列的加和來逼急一個(gè)數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則是用一個(gè)函數(shù)列的加和來逼近一個(gè)函數(shù)。

　　稱為定義在（a，b）內(nèi)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。為什么要把一個(gè)看似簡(jiǎn)單的函數(shù)分解成一大堆函數(shù)的和呢？因?yàn)橛行┖瘮?shù)直接研究起來比較困難，以某種形式的級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，對(duì)里面的每一項(xiàng)單獨(dú)研究，會(huì)變得更簡(jiǎn)單，也使得計(jì)算更加容易。級(jí)數(shù)有千千萬萬種，如泰勒級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)等等。但是有一種由正弦函數(shù)組合而成的級(jí)數(shù)，顯得尤為重要。這就是傅里葉級(jí)數(shù)。為什么傅里葉技術(shù)格外重要呢？這要?dú)w功于正弦函數(shù)優(yōu)秀的性質(zhì)。我們將函數(shù)展開成級(jí)數(shù)是為了獲得更加簡(jiǎn)便和易于計(jì)算的形式。而當(dāng)正弦波輸入一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，輸出仍然是一個(gè)正弦波，只有振幅、相位和頻率會(huì)發(fā)生變化，而不像其他的級(jí)數(shù)會(huì)使函數(shù)形式本身發(fā)生改變。這使得傅里葉級(jí)數(shù)在分析函數(shù)時(shí)具有了巨大的優(yōu)勢(shì)。此外，由于通信系統(tǒng)中電磁場(chǎng)與電磁波，以及諸多物理原理都與正弦信號(hào)有關(guān)，所以造就了傅里葉級(jí)數(shù)如此重要的地位。

　　傅里葉級(jí)數(shù)是怎么來的

　　傅里葉級(jí)數(shù)的得出

　　假如有兩個(gè)周期函數(shù)（Periodic Function），它們的頻率分別為f1和f2，那么他們的疊加還是一個(gè)周期函數(shù)嗎？頻率又是多少呢？顯然，兩個(gè)不同頻率的周期函數(shù)疊加仍然是一個(gè)周期函數(shù)，疊加后函數(shù)的周期是兩個(gè)原函數(shù)周期的最小公倍數(shù)。因此，當(dāng)一組頻率為

　　的周期函數(shù)疊加時(shí)，疊加后的函數(shù)頻率必然為1HZ。然而，如果采用了諸如1.1HZ，2.5HZ，3，12435HZ之類頻率的級(jí)數(shù)項(xiàng)，則輸出頻率將陷入混亂，所以這里只選取如1HZ，2HZ，3HZ，。。。，nHZ，。。。的頻率作為級(jí)數(shù)項(xiàng)。1HZ可以作為基本頻率，改寫作fJZ， 則級(jí)數(shù)項(xiàng)將變?yōu)閒HZ，2fHZ，3fHZ，。。。，nfHZ，。。。。回想圖1中周期為1秒的方波函數(shù)，我們可以將它表示成

　　然而，上面我們所表示的函數(shù)恰好是一個(gè)周期為1秒的奇函數(shù)。如果用上面的公式來逼近一個(gè)偶函數(shù)則無法實(shí)現(xiàn)。所以，若f（t）是一個(gè)周期為1秒的偶函數(shù)，則

　　因此，當(dāng)f（t）是一個(gè)周期為T，頻率為f的一般函數(shù)，既有奇函數(shù)成分也有偶函數(shù)成分，此外，作為奇函數(shù)或偶函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)可能相對(duì)原點(diǎn)產(chǎn)生位移，易知這個(gè)位移不會(huì)影響函數(shù)的形狀，可以用一個(gè)常數(shù)來表示，為了后續(xù)計(jì)算方便，這個(gè)位移記作a02，則有

　　至此，我們已經(jīng)得到了傅里葉級(jí)數(shù)的完整表達(dá)形式。

　　傅里葉級(jí)數(shù)中參數(shù)的確定與函數(shù)的正交性

　　那么如何確定上面公式中的bn呢？在這之前，然我們來談?wù)勈裁词呛瘮?shù)的正交性。學(xué)過線性代數(shù)的同學(xué)都知道，兩個(gè)向量的正交是通過內(nèi)積為零來定義的。而內(nèi)積則是將向量的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘再求和來得到的。假設(shè)我們有一個(gè)任意長(zhǎng)度的向量，每?jī)蓚€(gè)元素之間的距離無限小，那么我們就可以把這樣兩個(gè)向量看作兩個(gè)連續(xù)的函數(shù)。類比內(nèi)積的概念，兩個(gè)函數(shù)正交也就是將兩個(gè)函數(shù)賦予相同的自變量，再相乘，再做積分，如果積分等于零，則說明這兩個(gè)函數(shù)在積分域上是正交的。

　　我們高興的發(fā)現(xiàn)，不同頻率的三角函數(shù)具有如下的正交性。其中

　　傅里葉變換

　　為什么要有傅里葉變換

　　在上一章，我們已經(jīng)清楚的知道如何使用傅立葉級(jí)數(shù)去描述任何一個(gè)周期函數(shù)，其中傅里葉級(jí)數(shù)將一個(gè)周期函數(shù)描述成離散頻率正弦函數(shù)的組合，即在頻域上離散。然而，我們要分析的函數(shù)中常常會(huì)有非周期函數(shù)，這就需要傅里葉變換而不是傅里葉級(jí)數(shù)來描述這類函數(shù)。頻域不同于時(shí)域，是從另一個(gè)角度觀察客觀世界的一種方式。其將無限動(dòng)態(tài)的世界看成是注定的和靜止的。從頻域理解世界，更像是上帝看世界的方式。

　　對(duì)于任何一個(gè)非周期函數(shù)，我們都可以認(rèn)為其可以通過一個(gè)周期函數(shù)的周期趨于無窮轉(zhuǎn)化而來。周期趨于無窮也就意味著頻率趨于零，以及角速度趨于零。也就是說，一個(gè)非周期函數(shù)會(huì)通過傅里葉變換被描述成連續(xù)的正弦函數(shù)的組合，即在頻域上連續(xù)。基于這個(gè)思想，傅里葉級(jí)數(shù)即將演化成傅里葉變換。

　　從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

　　傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式

　　讓我們從傅里葉級(jí)數(shù)開始：

　　極限求得傅里葉變換

　　在為什么要有傅里葉級(jí)數(shù)一節(jié)中，我們已經(jīng)說過傅里葉變換其實(shí)就是傅里葉級(jí)數(shù)的周期趨近于無窮。因此，假設(shè)我們的目標(biāo)非周期函數(shù)為f（x），由傅里葉級(jí)數(shù)逼近的周期函數(shù)為ft（x），則

　　因此，

　　因此，將x替換成t，則

　　從上面兩個(gè)式子我們可以看出，第一個(gè)式子相當(dāng)于將一個(gè)時(shí)域函數(shù)f（t）變換成了頻域函數(shù)f（w），而第二個(gè)式子相當(dāng)于將頻域函數(shù)f（w）變換為時(shí)域函數(shù)f（t）。那么一個(gè)時(shí)域函數(shù)變換到頻域后，再變換回時(shí)域，還是不是它自身呢？這個(gè)問題就相當(dāng)于f（t）=f（t）是否成立，也可以說成傅里葉變換是不是一一對(duì)應(yīng)的。下面我們用反證法來探究這個(gè)問題。

　　假設(shè)傅里葉變換不是一一對(duì)應(yīng)的。那么應(yīng)該有

　　因此，假設(shè)不成立。傅里葉變換具有一一對(duì)應(yīng)性。至此，我們已經(jīng)完整的得到了傅立葉變換。