COMSOL Multiphysics 包含兩個(gè)可用于手動(dòng)定義有限元網(wǎng)格變形的接口，變形幾何接口和移動(dòng)網(wǎng)格接口。本篇文章中，我們將介紹應(yīng)何時(shí)使用這些接口，以及如何通過(guò)它們來(lái)高效模擬平移運(yùn)動(dòng)。

使用變形網(wǎng)格的優(yōu)勢(shì)

假設(shè)我們希望通過(guò) COMSOL Multiphysics 模型來(lái)描述一個(gè)在較大域內(nèi)移動(dòng)的固體對(duì)象，域內(nèi)充滿諸如空氣等的流體，甚至可以是真空環(huán)境。首先假定對(duì)象隨時(shí)間的移動(dòng)路徑已知，我們不必?fù)?dān)心需要使用哪個(gè)物理場(chǎng)求解模型，但將假定希望求解移動(dòng)域及周圍域中的一些場(chǎng)。當(dāng)然，我們還需要在這兩個(gè)區(qū)域使用有限元網(wǎng)格，但網(wǎng)格將發(fā)生改變。

在較大域中沿已知路徑自由移動(dòng)的固體對(duì)象。

針對(duì)這種情景，我們有兩個(gè)選項(xiàng)：變形幾何接口和移動(dòng)網(wǎng)格接口。這兩個(gè)接口的作用完全相同，但適合不同的情況。

當(dāng)我們希望明確定義材料在域中每點(diǎn)處的應(yīng)變時(shí)，應(yīng)使用移動(dòng)網(wǎng)格接口。它特別適用于模擬固體域的形變可以完全確定的情況。體積的變化說(shuō)明材料被拉伸或壓縮，但總質(zhì)量保持不變。

當(dāng)只需定義域邊界處的形狀時(shí)，可以使用變形幾何接口。它最適合模擬流體域。域總體積的變化說(shuō)明了模型質(zhì)量的增加或減少。

這兩個(gè)接口的實(shí)際使用完全相同，但對(duì)每類物理場(chǎng)的處理不同，所以您應(yīng)根據(jù)求解的物理場(chǎng)進(jìn)行選擇。雖然我們不會(huì)在本篇文章中介紹如何在這兩個(gè)接口中進(jìn)行選擇，但您可以從閱讀COMSOL Multiphysics Reference Manual中的“變形網(wǎng)格基礎(chǔ)”和“處理傳熱中的框架”章節(jié)開始。

另外請(qǐng)注意，我們無(wú)法耦合固體力學(xué)接口與移動(dòng)網(wǎng)格接口。固體力學(xué)接口主要通過(guò)動(dòng)量守恒計(jì)算域的變形。其他物理場(chǎng)，比如固體傳熱，則支持在這一變形中求解。另一方面，如果您希望研究由于移除材料造成的應(yīng)力變化，或希望能在不對(duì)整個(gè)幾何進(jìn)行參數(shù)化的同時(shí)對(duì)某個(gè)維度進(jìn)行參數(shù)化掃描，如“對(duì)導(dǎo)入 CAD 文件中的維度執(zhí)行參數(shù)化”文章中的介紹，結(jié)合變形幾何接口與固體力學(xué)接口會(huì)是較合理的做法。

我們將在這里介紹網(wǎng)格移動(dòng)的基本概念，分析一個(gè)固體對(duì)象在穩(wěn)態(tài)邊界包圍的較大域內(nèi)的移動(dòng)，如上圖所示。對(duì)象隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡已知。我們將分析如何針對(duì)這一問(wèn)題設(shè)定變形幾何接口。但我們首先需要快速查看 COMSOL Multiphysics 中將求解的方程組。

正在求解哪些方程組？

對(duì)象在域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)邊界值問(wèn)題。所有邊界的位移已知，并能用于定義網(wǎng)格在兩個(gè)域內(nèi)的變形。

針對(duì)網(wǎng)格在每個(gè)域內(nèi)的變形，我們有四種計(jì)算方法：Laplace、Winslow、超彈性和 Yeoh 平滑類型。這里，我們將僅分析最簡(jiǎn)單的情況——Laplace平滑，并將說(shuō)明為何這種方法能解決大部分問(wèn)題。Laplace 平滑方法在域內(nèi)求解了以下偏微分方程：

其中，小寫的x、y及z是網(wǎng)格的變形位置，大寫的指未變形前的初始位置。

由于所有邊界的位移已知，所以這是一個(gè)適定問(wèn)題，而且從理論上講，方程的解將給出網(wǎng)格的變形。但在實(shí)際操作中，我們會(huì)碰到一些計(jì)算得到的變形場(chǎng)并沒有多大用處的情況。如下圖所示，其中顯示了原始域中的原始網(wǎng)格，以及當(dāng)固體沿對(duì)角線運(yùn)動(dòng)時(shí)的變形網(wǎng)格。請(qǐng)仔細(xì)觀察我們突出顯示的區(qū)域，您將發(fā)現(xiàn)移動(dòng)固體邊處的網(wǎng)格發(fā)生了嚴(yán)重變形，特別是在尖角處。變形超過(guò)某個(gè)程度后，嚴(yán)重變形會(huì)使模型無(wú)法再求解上述方程。

原始及變形網(wǎng)格，突出了網(wǎng)格變得嚴(yán)重扭曲的區(qū)域。

在上圖中，可以通過(guò)邊界完整描述及指定藍(lán)色域內(nèi)的變形。另一方面，紅色域內(nèi)的變形則需要求解上述偏微分方程，這會(huì)造成一些困難。我們所需要的是一種能模擬更大的變形、但同時(shí)能最小化網(wǎng)格變形的方法。

如何幫助網(wǎng)格變形？

如果您有相關(guān)數(shù)學(xué)背景，就會(huì)發(fā)現(xiàn)上述控制方程實(shí)際就是 Laplace 方程，您甚至還可能知道它在一些簡(jiǎn)單情況下的解。其中較簡(jiǎn)單的一個(gè)情況是，Laplace 方程在包含狄氏邊界條件的笛卡爾坐標(biāo)域中的解與每條邊界呈高度線性，且沿周長(zhǎng)連續(xù)。在此例中，域內(nèi)的解等于四個(gè)角處邊界條件間的雙線性內(nèi)插。事實(shí)證明，您可以使用雙線性內(nèi)插求出含直邊的所有凸四邊形域中 Laplace 方程的解。

我們首先要將復(fù)雜的變形域細(xì)分為多個(gè)含直邊的凸四邊形域。下圖顯示了其中一種可能的細(xì)分方法。

對(duì)域進(jìn)行細(xì)分，變形區(qū)域（紅色）將由凸四邊形域構(gòu)成。

變形域被分為多個(gè)凸四邊形域。事實(shí)上，我們也可以將它分為三角形域，因?yàn)檫@是一類特殊的四邊形，兩個(gè)端點(diǎn)的位置重合，也就是所謂的退化域。如果無(wú)法將域分為四邊形，將只需將其分為多個(gè)三角形。

既然我們引入了新的邊界，就需要完整定義所有邊界，以便分析域內(nèi)的變形。變形域的相鄰邊界已知，且邊界外不存在變形。但與這些邊界相連的部分呢？我們畫了一條直線來(lái)連接兩個(gè)變形已知的點(diǎn)，因此可以直接沿這些線應(yīng)用線性內(nèi)插來(lái)指定此處的變形。

如何輕松計(jì)算這一線性內(nèi)插呢？也許您已經(jīng)猜到，我們只需簡(jiǎn)單求解這些連線處的 Laplace 方程！

常見做法是在模型中增加系數(shù)型邊界偏微分方程接口，求解兩個(gè)用于描述這四條邊界中每條位移的變量。該接口支持您指定偏微分方程的系數(shù)，以便沿一條邊界設(shè)定 Laplace 方程。邊界任一端點(diǎn)處的位移已知，因此我們就有了一個(gè)針對(duì)沿邊界位移的邊界值問(wèn)題，該問(wèn)題經(jīng)完整定義并支持求解。

新的助應(yīng)變量完整定義了變形域。結(jié)果如下方所示，并表明能夠支持更大的網(wǎng)格變形。當(dāng)然，我們?cè)谝苿?dòng)對(duì)象時(shí)應(yīng)避免它與邊界發(fā)生碰撞，因?yàn)檫@將造成域拓?fù)涞淖兓煌瑯樱瑔卧娣e不能為零。但我們可以將變形域設(shè)得極為細(xì)小。

變形幾何中沿內(nèi)部邊界增加助應(yīng)變量后，未變形和變形網(wǎng)格。

您可能認(rèn)為上方網(wǎng)格中的變形程度已經(jīng)很高，但請(qǐng)記住所有變形單元仍包含直邊，這一點(diǎn)非常好。在實(shí)際中，您經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)即使在高度變形的單元中也能得到良好的結(jié)果。

但我們可以觀察到，移動(dòng)域內(nèi)的某個(gè)區(qū)域會(huì)包含一些發(fā)生了高度變形的極小網(wǎng)格，另一個(gè)區(qū)域則會(huì)包含經(jīng)拉伸的較大網(wǎng)格。因此最后一步是使用自動(dòng)重新剖分網(wǎng)格，它會(huì)根據(jù)網(wǎng)格的質(zhì)量度量停止瞬態(tài)仿真，然后針對(duì)當(dāng)前變形重新進(jìn)行網(wǎng)格剖分。

執(zhí)行自動(dòng)重新剖分網(wǎng)格前后的變形幾何。

從上圖中可以看到，自動(dòng)重新剖分網(wǎng)格會(huì)在擠壓區(qū)域生成較少的單元，并增加拉伸區(qū)域的單元數(shù)，從而保持單元分布均勻。網(wǎng)格中總的單元數(shù)基本保持不變。但重新剖分會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，因此我們只應(yīng)在單元變形會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)果的精度時(shí)使用這一特征。

如果存在未知變形呢？

之前的分析適用于固體對(duì)象在流體域中的移動(dòng)已知的情況。但如果固體中存在未知變形呢？比如施加了在求解時(shí)計(jì)算得到的某些載荷？流固耦合分析就是這樣一個(gè)經(jīng)典示例，其中固體會(huì)在周圍流體流動(dòng)的影響下發(fā)生變形。

針對(duì)這一情況，我們可以使用積分組件耦合算子，它支持在整個(gè)模型空間使用變形固體結(jié)構(gòu)中某一點(diǎn)處的變形；隨即可以使用一個(gè)或更多點(diǎn)的變形來(lái)控制網(wǎng)格的變形。微泵機(jī)理教程模型較好地展示了這一技巧的使用。下圖是對(duì)此技巧的圖形化顯示。

當(dāng)實(shí)際變形未知時(shí)，針對(duì)某個(gè)點(diǎn)的積分組件耦合可用于定義控制網(wǎng)格變形的輔助線。

從上圖中可以觀察到，模擬域并沒有被分為凸四邊形，且輔助線可以沿模擬域的上邊界滑動(dòng)。因此這種模擬方法并沒有那么嚴(yán)格，但仍允許網(wǎng)格發(fā)生較大變形。很顯然，所有情況并非都只有唯一的最優(yōu)解決方案。您可以在具體案例中嘗試結(jié)合幾種技巧。

小結(jié)

我們介紹了如何有效使用變形網(wǎng)格接口，這可以通過(guò)將變形域分解為四邊形域并沿邊界引入助因變量實(shí)現(xiàn)。這種方法簡(jiǎn)化了 COMSOL Multiphysics 軟件對(duì)該類問(wèn)題的求解。當(dāng)存在嚴(yán)重變形時(shí)，可以通過(guò)自動(dòng)重新剖分網(wǎng)格來(lái)幫助求解文章介紹的方法同樣可以用于三維幾何。模擬變形網(wǎng)格教程同時(shí)使用二維及三維示例演示了這一方法的使用。

至此，我們僅討論了對(duì)象在相對(duì)簡(jiǎn)單域內(nèi)的平移，我們可以輕松在其中設(shè)定變形域。當(dāng)很難對(duì)幾何進(jìn)行細(xì)分或?qū)ο髸?huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們將需要不同的方法。