引言

1998 年，Huang 等人提出了一種新的信號處理方法：經驗模態分解方法（Empirical Mode Decomposition,EMD）。它用不同特征尺度的數據序列本征模函數（Intrinsic Mode Function,IMF）分量來逐級分解信號。

該方法可以對一個非平穩信號進行平穩化處理。

在EMD分解中，每個IMF需要多次“篩選”過程，而每一次篩選過程，需要根據上、下包絡計算出信號的局部平均值。上（下）包絡是由信號的局部極大（小）值通過3次樣條插值得到的。但信號的端點不可能同時處于極大值或極小值，因此上、下包絡在數據序列兩端會發散，且這種發散會隨著運算的進行而逐漸向內，從而使得整個數據序列受到影響，這就是所謂的EMD 方法的端點效應。

國內外很多研究者對改進EMD端點效應問題進行了研究。目前，常用的EMD 端點效應處理方法有鏡像法、極值延拓法、神經網絡預測、多項式外延方法、平行延拓法、邊界局部特征尺度延拓法。神經網絡延拓算法的運算速度慢，在工程應用中實時性差。所以本文只對鏡像法、極值延拓法、多項式法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法進行比較，從而得到對工程應用有指導意義的結果。

1 EMD方法

EMD方法中假設：

（1）任何信號都可以分解為若干個IMF分量；

（2）各個IMF分量可以是線性的或非線性的，局部的零點數和極值點數相同，且上下包絡關于時間軸局部對稱；

（3）一個信號可包含若干個IMF分量。

每個IMF分量的計算步驟為：

首先，計算原信號x（t） 的極值點，然后用三次樣條函數擬合出極大（小）值包絡線e+（t）（ e-（t））。原信號的均值包絡m1（t） 是上下包絡線的平均值：

若h11（t） 不滿足IMF 定義的條件，則它不是平穩信號，重復進行上述過程k 次（ k 一般小于10），直到找到滿足IMF的定義的h1k （t） ,則x（t） 的一階IMF分量為：

將r1（t） 作為原始數據，再得到第2個IMF分量c2 （t） ,依此類推，得到n 個IMF 分量，直到rn （t） 是單調函數或常量時，EMD分解過程停止。

最后，x（t） 經EMD分解后得到：

式中rn （t） 為趨勢項，代表信號的平均趨勢或均值。

2 改善端點效應的幾種方法

本文在Matlab下實現了5種常用的改善EMD 端點效應的方法，并用于比較測試，它們分別為：

（1）端點鏡像方法。以信號兩端的邊界為對稱，把信號向外映射，得到原信號的鏡像，形成一個閉合的曲線，從而得到完整的包絡曲線。

（2）極值延拓法。以端點的一個特征波為依據，在兩端各延拓兩個極大值和極小值。

（3）多項式擬合法。對原信號的極值點序列，利用端點處3 個極值點進行多項式擬合計算出的值作為端點處極值點的近似取值，以確定邊界極值點的位置。

（4）平行延拓法。利用端點附近的兩個相鄰極值點（一個極大值，一個極小值）處斜率相等這一特性，人為在兩端定義出兩個極值點。

（5）邊界局部特征尺度延拓法。把調幅趨勢和端點處局部極值點的時間間隔相結合，在信號兩端分別添加一對極大值點和極小值點。

3 端點效應評價指標

本文采用3個指標來評價多種端點效應處理方法的效果：

（1）計算EMD 分解后各分量信號與對應的原信號之間的相似系數ρ 信號的包絡發生形狀畸變，引起端點效應，從而使各個分量的分解不準確。可以比較EMD分解后的各IMF分量和原信號分量之間的相似度，來評價各抑制端點效應算法的抑制效果。

式中：cov-（ ） 表示協方差；σ-（ ） 表示方差；IMFi 表示信號經過EMD分解后的第i 個模態分量；xi 為相對應的原信號組成分量。ρ 值越大，說明端點效應的抑制越好。

（2）計算EMD 分解后得到的各IMF 分量和原信號相應的分量之間的平均相對誤差[9].

式中：N 表示信號的總個數；xi（k） 表示原信號第i 個分量；IMFi（k） 表示EMD 分解后得到的相應分量。

error_IMFi 越小，說明端點效應的抑制越好。

（3）運算時間。保證算法抑制端點效應效果的前提下，算法不能過于復雜，以滿足實時性。

4 實驗結果分析

假定測試信號是一個調頻調幅非線性仿真信號，其表達式為：

式中采樣頻率1 000 Hz,采樣點數250 點，時域波形如圖1所示。

為了比較延拓后的分解結果，將原信號的組成分量一并給出，圖2是沒有進行端點處理的信號EMD分解結果，從圖中可以看到，在兩端點處有比較大的失真，并且會“ 向內污染”.圖2~圖7 中虛線為原分量；實線為EMD的分解結果。

圖3~圖7分別是用端點鏡像方法、多項式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法延拓后得到的EMD分解結果。

由圖可知，這幾種方法都有效改善了EMD 的端點效應，其中極值延拓法對于端點效應的改善比較明顯，其他方法得到的結果，在兩端仍有發散現象。表1給出了文中所述5種端點抑制方法對所給信號處理后的性能評價結果。

由表1給出參數可看出，對于給定準周期的測試信號，極值延拓法分解得到相似系數最大，分解誤差最小，分解精度最高；平行延拓法得到的相似系數最小，分解誤差最大，分解精度較低。比較運行時間，極值延拓法和平行延拓法計算速度最快，多項式擬合法耗時較長。

5 結語

在EMD 分解過程中，由于多次對局部極大值和局部極小值運用3次樣條插值，從而產生了引起失真的端點效應。對于本文給出的準周期的測試信號，端點鏡像方法、多項式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法5種方法都能改善EMD分解的端點效應問題。其中，極值延拓法是5種方法中分解效果最好的、運算速度最快的延拓方法，在工程技術應用中處理類似的信號，可以將其作為端點效應處理的主要方法。當然，工程應用中的信號千差萬別，對于不同形式的信號，各種改善EMD 端點效應的延拓方法性能各異。在實際應用中，最好根據所處理信號的特點選擇合適的延拓方法。本文所用評價方法，只對實際工程選用合適的延拓方法提供一個參考。