引 言

由于FIR數字濾波器具有系統穩定，容易實現線性相位，允許設計多通帶(或多阻帶)以及硬件容易實現等特點，使得其在數字信號處理中有著廣泛的應用。傳統FIR濾波器的設計方法是建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎上進行設計的，其中包括窗函數法、頻率采樣法及最佳一致逼近法。窗函數法計算簡單，但不能很好地折衷過渡帶與幅頻響應誤差之間的矛盾。頻率采樣法直接從頻域處理，原理簡單，計算也不復雜，但不易精確確定其通帶和阻帶的邊緣頻率，并且使用傳統的查表法，不能保證數據最優。最佳一致逼近法著眼于整個區間內的總誤差為最小，但并不一定能保證在每個局部誤差都最小。近年來許多學者將先進方法用于FIR濾波器優化設計，如神經網絡法和遺傳算法等。這些算法具備一定的有效性，但存在理論復雜，收斂速度慢，容易早熟收斂等不足。在此，提出一種改進粒子群優化算法(IMPSO)的FIR濾波器設計方法。該方法計算量小，整定時間短，并能有效克服早熟收斂的問題。

1 引入粒子聚合度的改進粒子群優化算法

1．1 粒子群優化算法(PSO)

PSO算法是美國Kennedy和Eberhart受鳥群覓食行為的啟發，于1995年提出的。該算法的思想是通過種群粒子間的合作與競爭，產生群體智能指導優化搜索。PSO算法可用式(1)表示。

式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d維速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d維的位置；ω是慣性權值系數；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d維個體極值點的位置(即個體最優)；gbestdk是整個種群在第k次迭代中第d維全局極值點的位置(即全局最優)；r1，r2是[0，1]之間的隨機數；c1，c2是加速系數，或稱學習因子。

1．2 帶粒子聚合度的改進粒子群優化算法

由式(1)可知，如果粒子的當前位置在gbest，此時個體極值點與全局極值點為同一點，即pbest與gbest相同。這時粒子速度若等于零，則種群的粒子將會出現進化停滯，算法只能收斂到種群目前尋找到的最優解gbest。假如這時gbest對應的只是一個局部最優解，那么算法就出現了早熟收斂現象。

針對PSO算法存在早熟和局部收斂的問題，在基本PSO的基礎上，加入粒子聚合度n和一個線性遞減的慣性權值系數ω，對PSO算法進行改進。

聚合度n是用來反映粒子群*程度的一個系數。當粒子群出現高度*，進化停滯時，n隨迭代次數遞增；當n大于一個閾值λ(此閾值根據具體情況選擇)時，對粒子進行變異，使變異粒子跳離當前位置，進入其他區域。在其后的搜索中，算法有新的個體極值pbest和全局極值gbest，從而跳出局部收斂。多次循環迭代后，就能找到全局最優。

改進的算法可用式(2)和式(3)表示：

式(2)中rand是[0，1]間的隨機數：

式中：max Xd和min Xd分別是粒子在d維空間上的最大值和最小值。

慣性權值系數叫決定控制算法的收斂特性，當ω較大時，全局搜索能力強；當ω較小時，局部搜索能力強。文獻[6]通過大量實驗證明，如果ω隨算法迭代的進行而線性減小，將顯著改善算法的收斂性能。在此，取：

如果設計FIR數字濾波器的理想頻率響應為Hd(ejω)，則設計濾波器與理想FIR濾波器的誤差e可通過對兩濾波器的幅度在一定量的離散點上的誤差平方和來表示，即取M個離散點時：

由式(7)容易知得，誤差e是濾波器N個系數h(n)(n=0，1，…，N-1)的函數。對FIR濾波器的設計，就要選取合適的濾波器系數h(n)，使誤差e最小。顯然，h(n)的選取是一個組合優化問題，因此可通過優化算法求解濾波器系數h(n)，實現FIR設計。

2．2 適應度函數

IMPSO通過適應度函數來確定粒子當前位置的優劣，因此選式(7)作為優化設計FIR數字濾波器的適應度函數。即：

顯然，Fithess函數值越小，則對應濾波器的幅度均方誤差就越小，該粒子就對應更佳的濾波器系數。算法結束后，適應度最小的粒子所代表的參數值就是濾波器的最優系數。

2．3 算法編碼及流程

為了用IMPSO算法求解h(n)，應對優化參數h(0)，h(1)，…，h(N-1)進行適當的編碼，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用實數來表示各參數，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分別表示N個粒子當前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分別表示當前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的個體最優，gbest表示全體的最優解。算法流程如圖1所示。

3 仿真算例

為了驗證所提出算法的有效性，在計算機上采用Matlab語言進行FIR數字濾波器設計的仿真實驗。同時為了比較算法性能，還采用基本遺傳算法(BGA)和基本粒子群優化算法(BPSO)進行了相同的濾波器優化設計。仿真實驗中，粒子群優化算法的參數設置為：群體大小Size=30，參數維數Codel=30，最大慣性權重為0．9，最小為0．2，聚合度為20，最大迭代次數為200；遺傳算法參數設置為：種群30，遺傳代數200，交叉概率0．5，變異概率0．1。

圖3和圖5則是用三種不同算法設計的FIR低通和帶通數字濾波器。從圖2和圖4中容易看出，無論是對低通還是帶通濾波器的設計，因為IMPSO對BPSO加入了聚合度檢測，能進行智能變異，同時采用線性遞減的慣性權值系數。因此與BPSO相比，IMPSO既有最快的尋優速度，也具有最好的適應值，只要迭代次數設置合理，在迭代次數范圍內，粒子總會找到全局最優值。BPSO與BGA的尋優速度慢，容易陷入早熟收斂，很難得到理想的最優參數。由圖3和圖5的FIR低通與帶通數字濾波器的幅頻特性曲線可明顯看出，利用IMPSO設計的濾波器在三種算法中最接近理想的濾波器，是較好的FIR濾波器設計方法。

4 結 語

在此通過加入聚合度，并將遺傳算法中的變異思想引入到PSO算法中，對粒子實現智能變異，能有效克服標準．PSO容易進入局部收斂的缺點。同時由于該算法用到的參數少，程序實現簡單，因此與BGA等其他算法相比，具有運算量少，尋優速度快等優點。通過實例仿真結果表明，這里提出的IMPSO算法在FIR低通與帶通數字濾波器的設計上比BPSO和BGA具有更好的收斂速度和搜索能力。在設計FIR帶阻和多通帶數字濾波器時，IMPSO也是一種有效的設計方法。