1 引言

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、效率高、損耗小和功率體積比大等優(yōu)點(diǎn)，目前被廣泛應(yīng)用于新能源汽車(chē)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)電磁干擾流經(jīng)的重要路徑，建立其高頻模型，對(duì)下一步搭建系統(tǒng)整體的傳導(dǎo)干擾和輻射干擾預(yù)測(cè)模型十分重要，因此，電機(jī)高頻模型的精度和準(zhǔn)確度會(huì)對(duì)系統(tǒng)整體模型的精確性和正確性產(chǎn)生很大影響。然而，目前用于建立電機(jī)高頻模型的方法往往存在建模過(guò)程復(fù)雜、誤差大、通用性差及模型頻帶覆蓋窄等問(wèn)題，因此，需要一種更為有效的建模方法。

本文首先介紹基于矢量匹配法的電路建模方法：闡述矢量匹配法的基本原理，描述高頻等效電路構(gòu)建過(guò)程，推導(dǎo)其模型參數(shù)的計(jì)算方法。隨后用此方法建立星形和三角形兩種不同接線方式的永磁同步電機(jī)高頻電路模型，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 矢量匹配法

2.1概述

矢量匹配法（Vector Fitting）［1］是Gusavsen和Semlyen于1999年提出的一種穩(wěn)定、有效的擬合方法，該方法避免了有理逼近過(guò)程中出現(xiàn)的病態(tài)和不平衡加權(quán)問(wèn)題，目前廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)和高速電路設(shè)備頻率特性擬合［2-4］，矢量匹配法特別適用于有關(guān)頻變效應(yīng)的建模，并在擬合過(guò)程中表現(xiàn)出良好的魯棒性、有效性和穩(wěn)定性。

2.2矢量匹配法基本原理

電網(wǎng)絡(luò)理論中，線性電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可表達(dá)為一有理函數(shù)：

（1.1）

可將此函數(shù)寫(xiě)成極點(diǎn)、留數(shù)形式，即

（1.2）

其中，留數(shù)和極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)，d和e是實(shí)數(shù)。

① 矢量匹配法求解過(guò)程

給定一組測(cè)試數(shù)據(jù) （k=1，2…。.P），當(dāng)極點(diǎn)給定時(shí)，式（1.2）就變成關(guān)于待求參數(shù)、d和e的線性函數(shù)，采用矢量匹配法可解出式（3.2）中所有參數(shù)、、d和e，其求解過(guò)程如下：

設(shè)（n=1，2…。.N）是函數(shù)給定的一組初始極點(diǎn)，同時(shí)引入輔助函數(shù)，將與相乘，假設(shè)與有相同的極點(diǎn)，可得方程：

（1.3）

在上式中，有理函數(shù)和近似式具有相同的極點(diǎn)，是未知函數(shù)的留數(shù)，此外，函數(shù)的項(xiàng)被強(qiáng)制為1。將式（1.3）中第二行兩端同乘并與第一行進(jìn)行減法運(yùn)算，可得關(guān)于待求參數(shù)、、d和e的線性方程。

（1.4）

將一組測(cè)試數(shù)據(jù)（k=1，2，3…P）及其對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)代入（1.4）式，可得一組線性方程，其矩陣形式為

（1.5）

其中，系數(shù)矩陣的第k行元素為：

（1.6）

解向量x和已知向量b分別為：

（1.7） （1.8）

假設(shè)第和極點(diǎn)或留數(shù)為一組共軛復(fù)數(shù)對(duì)時(shí)，形式如下：

（1.9）

則矩陣中對(duì)應(yīng)元素為：

（1.10）

此時(shí)矩陣相應(yīng)的留數(shù)分別是和。

對(duì)于式（1.5）一般有，因此它是超定的，可以用最小二乘法求解得到、、和。但是，由給定的初始極點(diǎn)求解式（1.5）計(jì)算得到的、和并不準(zhǔn)確，因此需要修正初始極點(diǎn)，求解下一次迭代過(guò)程中的初始值，使逐步逼近。

用表示式（1.3）第一個(gè)方程的右邊，將和寫(xiě)成零極點(diǎn)形式有

（1.11）

（1.12）

式中，和分別是和的零點(diǎn)。由上式可得

（1.13）

上式表明，的極點(diǎn)與的零點(diǎn)相等。由于有理函數(shù)和具有相同的極點(diǎn)，這樣，初始極點(diǎn)在運(yùn)算的過(guò)程中相互抵消，求解得到的零點(diǎn)就是下一次迭代的極點(diǎn)。

由式（1.3）和（1.12）可得：

（1.14）

將上式右側(cè)寫(xiě)為行列式形式有

（1.15）

構(gòu)建矩陣

（1.16）

式中，是包含初始極點(diǎn)的對(duì)角矩陣，是元素為1的列向量，是包含留數(shù)的行向量，即

（1.17） （1.18）

因此矩陣的特征多項(xiàng)式就是式（1.15），由此，的零點(diǎn)可通過(guò)求解矩陣的特征值得到。

當(dāng)中極點(diǎn)和中對(duì)應(yīng)留數(shù)是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，各矩陣相應(yīng)部分的子矩陣為

（1.19）

將計(jì)算得到的特征值替代式（3.4）的給定的初始極點(diǎn)，再求解式（1.5）。重復(fù)這一迭代過(guò)程數(shù)次，最后得到滿(mǎn)足精度要求的和。

3 永磁同步電機(jī)高頻建模

對(duì)三相永磁同步電機(jī)進(jìn)行高頻建模，本文采用測(cè)量法，即把電機(jī)看成一個(gè)“黑盒子”，不需要知道電機(jī)結(jié)構(gòu)和電磁參數(shù)，只需測(cè)量電機(jī)端部阻抗頻譜特性，結(jié)合矢量匹配法，即可模擬出電機(jī)高頻電路模型。

電動(dòng)汽車(chē)使用的電機(jī)的定子繞組接線方式有兩種：星形和三角形，根據(jù)電機(jī)繞組的連接方式不同，分別對(duì)星形接線和三角形接線的永磁同步電機(jī)進(jìn)行高頻建模。需要強(qiáng)調(diào)的是，在矢量法建模過(guò)程中，取為阻抗參數(shù)還是導(dǎo)納參數(shù)與定子繞組的接線方式無(wú)關(guān)，這兩個(gè)參數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)換的。

3.1三角形接線電機(jī)建模

目前，針對(duì)永磁同步電機(jī)高頻模型研究對(duì)象大多數(shù)為星形聯(lián)結(jié)的電機(jī)，而對(duì)定子繞組為三角形聯(lián)結(jié)的電機(jī)研究很少。通常，大功率電機(jī)的定子繞組接線方式采用三角形聯(lián)結(jié)，這是因?yàn)樵谙嗤β氏氯切谓泳€較星形接線下繞組中流過(guò)的電流較小，可以使繞組線圈制造和布線更為方便。而采用將三角形電機(jī)繞組拆卸獲取電路參數(shù)的方法通用性差，提取過(guò)程復(fù)雜。因此，有必要對(duì)三角形聯(lián)結(jié)的電機(jī)高頻模型進(jìn)行研究。

①電機(jī)模型

圖1三角形接線電機(jī)模型

三角形接線電機(jī)的高頻阻抗網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示，圖中，表示三相繞組對(duì)地的阻抗，為共模阻抗，表示三相繞組之間的差模阻抗。永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子是永磁體，忽略其渦流損耗和磁飽和效應(yīng)，因此在建模中同樣沒(méi)考慮轉(zhuǎn)子的影響。

② 抗測(cè)量

電機(jī)阻抗測(cè)量采用共模和差模測(cè)量?jī)煞N方式，測(cè)試設(shè)備Agilent4294A，測(cè)試頻段為100kHz-100MHz，測(cè)試頻點(diǎn)數(shù)201個(gè)。共模測(cè)量即測(cè)試電機(jī)三端口并聯(lián)后和機(jī)殼間的阻抗，其測(cè)試阻抗表示為，如圖2所示；差模測(cè)量即測(cè)試電機(jī)兩端口并聯(lián)后和第三端口間的阻抗，其測(cè)試阻抗表示為，如圖3所示。

（a） 端口聯(lián)接方式 （b） 等效阻抗

（a） Motor terminal connections （b） Motor equivalent impedance

圖2共模阻抗

（a） 端口聯(lián)接方式 （b） 等效阻抗

（a） Motor terminal connections （b） Motor equivalent impedance

圖3差模阻抗

③數(shù)據(jù)處理

根據(jù)圖2（b）和2（b），測(cè)量阻抗和與繞組阻抗和的關(guān)系為：

（1.20）

（1.21

通過(guò)式（1.20）和（1.21）可以求得繞組阻抗和的表達(dá)式：

（1.22）

（1.23）

上節(jié)在建立星形聯(lián)結(jié)電機(jī)建模過(guò)程中，使用了基于阻抗函數(shù)的矢量匹配法，本節(jié)將采用基于導(dǎo)納函數(shù)的矢量匹配法擬合其等效電路。在此以求解的等效電路為例說(shuō)明求解的整個(gè)過(guò)程。

表1 的矢量匹配法求解參數(shù)

Table.1 VF method for

通過(guò)式（1.23）可得的阻抗特性數(shù)據(jù)，將獲得的阻抗數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納，即后，代入矢量匹配法程序，進(jìn)行6階擬合，得到導(dǎo)納函數(shù)的極點(diǎn)和留數(shù)，如表1所示。

在Saber搭建阻抗和的等效電路模型，和的仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。由圖可知，用基于導(dǎo)納函數(shù)的矢量匹配法擬合得到的電路參數(shù)能很好的吻合待建模阻抗的高頻特性。在求解求解和等效電路的過(guò)程中，原始數(shù)據(jù)中包含的阻抗的實(shí)部、虛步信息，其仿真數(shù)據(jù)在幅值和相位上都有很好的擬合效果。

（a） 繞組共模阻抗 （b） 繞組差模阻抗

（a）The winding CM impedance （b） The winding DM impedance

圖4 阻抗對(duì)比

③ 模型驗(yàn)證

將得到的和等效電路按圖1的連接方式在Saber軟件中搭建電機(jī)EMI高頻模型。計(jì)算和在100 kHz~100 MHz的阻抗特性曲線，并與實(shí)際測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。阻抗曲線仿真和實(shí)測(cè)對(duì)比如圖5、6所示，對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量阻抗的幅頻特性和相頻特性與仿真結(jié)果在整個(gè)頻段范圍內(nèi)曲線吻合很好，進(jìn)一步驗(yàn)證了矢量匹配法的正確性和準(zhǔn)確性。

（a） 幅值 （b） 相位

（a） Amplitude （b） Phase

圖5 仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果

（a） 幅值 （b） 相位

（a） Amplitude （b） Phase

圖6 仿真與實(shí)測(cè)結(jié)果

4 小結(jié)

本文研究了建立永磁同步電機(jī)高頻電路模型的方法。介紹了矢量匹配法的基本原理，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)和留數(shù)等參數(shù)的分析，分別推導(dǎo)出基于阻抗函數(shù)和導(dǎo)納函數(shù)的等效電路建立過(guò)程，并應(yīng)用于三角形聯(lián)結(jié)的永磁同步電機(jī)高頻電路的建模。永磁同步電機(jī)的建模過(guò)程歸納為：構(gòu)建電機(jī)繞組高頻模型的電路拓?fù)洌ㄟ^(guò)共模測(cè)量和差模測(cè)量獲得模型中共模阻抗和差模阻抗的頻率特性；使用矢量匹配法將測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算阻抗（導(dǎo)納）函數(shù)的極點(diǎn)留數(shù)等參數(shù)，隨后轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的等效電路。電機(jī)高頻電路模型的時(shí)頻域仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比，驗(yàn)證了利用矢量匹配法建立永磁同步電機(jī)高頻模型的正確性和有效性。此外，該建模思路和方法同樣可以用于其他種類(lèi)的交流電機(jī)高頻電路模型，具有一定的通用性。本研究?jī)?nèi)容為研究電機(jī)驅(qū)動(dòng)傳導(dǎo)電磁干擾和輻射電磁干擾問(wèn)題打下基礎(chǔ)，對(duì)建立驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)精確的傳導(dǎo)和輻射干擾模型有重要意義。