包括小編在內的黎民百姓，崇尚眼見為實，在周圍實空間中看到什么就描述什么。這是認識客觀世界的基礎，所以物理人注重描繪物體的大小、形狀及其運動。后來，為了方便描述衍射物理，也基于對固體相互作用的深刻理解，物理人構建了實空間的倒易空間、動量空間或波矢 k 空間 (含時空間)。Whatever，將觀測到的運動世界 map 到 k 空間中去，顯示了顛倒世界的無尚風景。這種倒置的“對應”關系，構成了今天物理人、特別是凝聚態物理人的研究平臺之一?？雌饋恚锢砣怂坪跣纬闪四撤N“條件反射”：實空間的世界里有什么，就要嘗試在 k 空間中探索類似的效應。由此，k 空間中的“布里淵區”，亦成為波函數的三維坐標空間。這種倒置的三維空間，成為量子材料討論問題的主體世界，反倒是實空間的物理顯得有些 low 了。

當然，量子材料的主要任務，不是去關心材料實空間的顯微結構和力學性能，不是去關心其加工成型和操控，而是更關注其中的量子載體──電子的集體運動行為，表現為 k 空間中波函數的形狀、相互作用和運動好壞快慢等。

舉個例子，對實空間一物體，為了某種目的，可以切割、剪裁物體的大小和特定形狀，為我所用。也可利用簡單力學原理做成角材、工字材，減輕物體重量而依然保持原來的性能品質。還可以利用對稱性構建各種圖案 (如蜂窩點陣、kagome 點陣、Penrose 拼盤等) 以顯示美感和更多功能。更可以將其扭轉、對接而制作成“莫比烏斯帶”一般的拓撲非平庸幾何結構。如此等等，形成了今天材料使用的各種行業，使得日常生活更方便、高效和舒適。這樣簡單的處理加工理念，物理人也希望運用到 k 空間的“物體”上，希望如此這般地實施后，也得到類似效果。當然，這里所謂的“物體”，就是能帶。這里的所謂“效果”，就是量子材料能帶的各種形態、尺度、相互關系及其對應于實空間的輸運與轉換性能，對吧？！小編外行，只是班門弄斧，從幾個點上羅列編撰一些線條。

許多年來，物理人特別關注費米能級附近能帶的方圓疏密、尖寬胖瘦，從而能對量子輸運和光電轉換等過程的快慢深淺、各向異性一覽無余，如圖 1(A) 所示。金屬和半導體科技，從這一“方圓疏密、尖寬胖瘦”中獲得了眾多發現、革新和應用，不一而足；也促成能帶理論成為凝聚態物理的核心。后來，固體物理引入自旋自由度，建立了金屬磁性微觀理論，勾畫了上下自旋能帶劈裂 shift 成鐵磁金屬，對能帶理論亦有推動與發展。不過，即便到這一步，物理人還是很少對能帶的整體或局部幾何性質給出清晰認識、并加以操控。他們做得最多的，是將費米能級處的載流子遷移率和有效質量等物理量提取出來，并與能帶色散、自旋磁矩等相聯系，以改善材料性能。

對能帶整體幾何形貌和局部幾何的特別關注，可能起始于非常規超導或電子關聯物理?；蛘叱兜酶h一些，起始于費米能附近那些能標較小的物理效應 (例如拓撲、自旋相關激發、平帶、自旋 - 軌道耦合 SOC 等)。圖 1(B) 示意了其中一些簡單情形，讓讀者感受到量子凝聚態的快速發展態勢。到了今天，物理人已習慣于關注能帶的整體幾何性質，使之成為拓撲量子物理研究的核心。圖 1(C) 所示的，即是能帶整體幾何性質的一種表現，也是本文即將觸及的主題。

圖 1. 物理人擅長描繪的 k 空間能帶結構之幾個例子。(A) 固體電子態最簡單直觀的表達，包括金屬 (a)、半金屬 (b)、半導體 (c) 和絕緣體 (d)。(B) 在 k 空間中，電子自旋和軌道自由度相關物理的一種展現，包括自旋 - 軌道耦合 SOC、軌道霍爾效應 OHE (orbital Hall effect) 等。(C) 在 k 空間中，狄拉克和拓撲量子體系的貝里曲率，其中狄拉克錐 (Dirac cone) 處貝里曲率用顏色表示、軌道角動量用箭頭表示。

總之，物理人似乎養成了一種習慣或條件反射，不自覺將實空間和 k 空間對照一番、比劃一下。不知道這是否正成為發現新物理、構建梳理新思路的一把密鑰！當然，這種對照，也可能源于物理人進行的形象類比和通俗科普，以便更多人理解并給予支持，即便這樣的類比有效或無效、嚴謹或粗糙。不過，相互顛倒的兩重世界之間，如果存在某種對應或鏡像，哪怕是類比，只要能更新或深化物理人對客觀世界的理解，也未必不是好事。且看小編在囫圇吞棗之后，如何比劃這種類比、對照。不妨選擇實空間的電磁學及其 k 空間的類比，作為討論的切入點。

選擇電磁學作為議論對象，乃是因為電磁學可能是經典物理學表現最豐富和最親切的分支學科。物理人任何時候去“一步三回顧”電磁學或電動力學，都可能有新收獲：

(1) 電磁學主要討論兩個基本物理量，即實空間的電場 E 和磁場 B (磁感應強度)。前者是矢量、徑向指向而一往直前，后者是贗矢量、軸向 (橫向) 指向而環繞往復。前者對電荷的作用是電場力、點乘；后者對運動電荷的作用是洛倫茲力、叉乘。電場和磁場的這兩類屬性，驅動電子作縱向和橫向運動?；蛘吒话愕兀鼈円黄痱寗与姶艌鼋M合運動，構成電磁輸運的基礎。很顯然，因為電場、磁場都能對運動電子施加作用，在固態量子體系的 k 空間中，它們也應該是主角。物理人希望由此在 k 空間中創造一個“電磁學”的世界，創造出類比電場或磁場的新物理量。當然，電場這一與時間無關的極矢量在 k 空間中依然可用，但 k 空間中類比于磁場的物理量之意義就不那么清晰。

(2) 凝聚態物理中，展示電磁場、特別是磁場主角形象的最佳場景，肯定是霍爾效應了。圖 2(A) 所示為霍爾家族的主要成員。電場驅動載流子縱向運動，給了磁場驅動其橫向霍爾漂移的機會，這是基本認知。接下來，如果存在一個等效磁場 (如鐵磁材料的磁矩，就是等效磁場)，則反常霍爾效應就能登堂入室。一般情況下，反?；魻枙茱@著，堪比強磁場下的正?；魻?。因此，反常霍爾是很強的物理，必定有更深刻的起源。這兩大效應在物理人的研究中日久彌新，給凝聚態物理和量子材料以巨大影響。磁場或磁性，及至與磁性相關的自旋自由度和磁矩序參量，也早就成為凝聚態物理的重要內涵。

(3) 量子霍爾效應，超越正常和反常霍爾效應，早就粉墨登場了。以二維電子氣中的霍爾效應為例：隨磁場 B 變化，霍爾電阻呈現漂亮的霍爾平臺。物理人對此的理解是，填充于費米面附近能級的電子，在磁場 B 作用下將回環運動。因為電子能級是離散化的，即所謂朗道能級，所以就有了霍爾臺階。此時，如果二維電子氣是非磁性的，觀測到的就是量子霍爾效應。如果體系是磁性的 (例如鐵磁性)，則二維電子氣可以呈現反常量子霍爾臺階，雖然這樣的效應一直到 2010 年代才在磁性拓撲絕緣體中觀測到。

(4) 無論是經典還是量子霍爾，外加磁場或等效磁場都是必要條件。對電磁學，磁場 B 的存在也是電子橫向漂移運動的必要條件。如果再從微觀機制層面看，由經典洛倫茲力到量子的朗道能級，磁場同樣不可或缺。如果一定要較真這一說辭，不妨回顧一下電動力學中的 AB 效應 (Aharonov -Bohm 效應)。此時，物理人似乎初步“放棄”了直接討論磁場 B，轉而用經典電動力學中的磁矢勢，再引入量子力學中幾何相位概念，就可以理解 AB 效應了，如圖 2(B) 所示。這里有兩個層面的意涵。其一，AB 效應提升了磁矢勢概念的重要性，它與磁場 B 至少存在數學上的聯系 (磁場、磁通、磁矢勢)，且磁矢勢遠比磁場的意義深刻。其二，雖然磁場 B 不在兩束電子束運動路徑上 (即電子束沒有被施加洛倫茲力)，但改變 B 依然可以影響兩束電子束的疊加干涉效果。干涉圖樣 shift 的方向，正是與電子束運動方向和磁場 B 方向正交的方向，這與霍爾效應的空間幾何關系有類似之處。

圖 2. (A) 霍爾效應家族。(B) 在 k 空間中的貝里相位物理，與在實空間中的電磁學之間，存在某種對應關系。(C) 連接實空間電磁學和 k 空間量子力學之最簡單圖像：AB 效應。(D) 拓撲半金屬的能帶結構 (tilted Dirac cones) 和對應的貝里曲率分布。

如上 (1) ~ (4) 的邏輯梳理，讓物理人感受到，對霍爾效應的認知，正逐漸從“磁場誘發的效應”過渡到“部分與磁場相關的效應”，最終到達“與磁場無關的效應”。正是如此，霍爾效應最終也成為展示量子凝聚態或量子材料效應的良好平臺(可能是最重要的平臺)。最近受關注的“非線性霍爾效應”就是一個例子。它顯性上與磁場 B 沒有關系，表現為縱向電場驅動下的橫向倍頻電壓信號。這些認知過渡的背后，是對量子力學中幾何相位的深刻認識。所謂幾何相位，也就是 k 空間中的貝里相位 (Berry phase)，如圖 2(C) 所示。AB 效應中，兩束同源而被分開的電子束在遠處的干涉疊加，會對磁場變化產生響應，在實空間中是很匪夷所思的。但是，如果從磁場攜帶磁通引發磁矢勢背后的貝里相位變化角度去理解，我們馬上明白：正是因為貝里相位的變化，兩束電子束在疊加時才會因為這一相位差而使干涉圖樣發生 shift。

行文至此，小編的感覺是：貝里相位與此處討論的實空間物理之間，既并無明確的聯系，亦有某種內在聯系。畢竟，“霍爾效應源于磁場 B 的橫向力作用”這一圖像，在物理人腦海里太深刻了。因此，將 k 空間的貝里相位與實空間的霍爾效應進行類比，進而建立貝里相位與磁性之間的聯系，就非常重要。這種聯系的建立，產生的主要結果是：在 k 空間中，貝里相位就是 AB 效應中的磁通；而貝里相位連接 (Berryconnection) 即是磁矢勢；歸結到最后，貝里相位在 k 空間的變化劇烈程度 (實際上是貝里連接的 k 空間導數)，即是 (或比例于) 貝里曲率 (Berrycurvature)，也就是等效磁場 B。這樣的類比，可以漂亮地描述 AB 效應，成為今天理解電磁效應的量子基礎。注意到，貝里相位和貝里曲率，是在 k 空間中定義的，而波矢 k 含時間坐標。也就是說，對稱性的類似性，讓貝里曲率與磁性 (磁場) 依然是有聯系的，并展現了超越簡單類比的深刻物理。圖 2(D) 所示，乃是 k 空間貝里曲率分布的一個實例。

現在，于 k 空間中，物理人也有了貝里曲率 (貝里相位、貝里連接) 這樣與實空間的磁場 B (磁矢勢、磁通量) 對應的物理量，只是這些物理與磁場 B (包括磁性、磁通、磁矢勢) 之間已經沒有顯性的聯系?！皼]有聯系”就可以讓物理人超越傳統磁性的束縛，將貝里物理推廣到所有可能達到之處，如非磁性、無特定對稱性要求、無 SOC、無自旋 - 晶格耦合，等等(只是經典物理意義上的擴展^_^)。姑且大膽幻想，在 k 空間中，物理人可以試圖建立一套與經典磁性無關的“電磁學”，并發展相關的物理和應用。基于永不滿足的性格，物理人馬上就開始了 k 空間 (能帶空間) 中諸多“電磁學”性質的探測。例如，貝里曲率對整個布里淵區的積分，就是二維拓撲絕緣體的拓撲陳數 (Chernnumber)。再例如，對金屬磁性，貝里曲率對布里淵區所有填充態的積分，即為反常霍爾效應，或者干脆就是貝里相位。這些性質，與磁場 B 沒有顯性聯系，雖然依然受到電場 E 的掣肘。

圖 3. (A) 反?；魻栃?(a) 對應于貝里曲率 (b)；非線性霍爾效應 (c)對應于貝里曲率一階矩 (d) (顏色不同對應于貝里曲率的變化，形成 dipole 偶極矩 Λ)。(B) 在非磁性、中心反演對稱破缺的化合物 TaAs 中，貝里曲率的分布和對應的磁單極子形態。

如果只是基于小編學過的若干三腳貓知識，是遠不夠去認識物理人如何探索 k 空間的“電磁學”的。小編只有一些碎片化的事實描述，姑且呈現如下，以濫竽充數：

(1) 測量貝里曲率的方法。很顯然，能夠有效測量貝里曲率，是討論貝里相位物理的前提。實驗上，要測量一個量子材料的能帶幾何形態，可以利用角分辨光電子能譜 APRES 和利用 STM 微分電導譜。它們都是成熟技術。但用它們去獲取貝里相位和曲率，似乎并無特定優勢。目前常用的方法，是測量平面霍爾電阻 (planar Halleffect, PHE)、量子振蕩和非線性霍爾效應等。前兩者依賴于外加磁場，不在此討論。后者則對應于 k 空間貝里曲率的一階偶極矩 (Berrycurvature dipole, first moment of Berry curvature)，如圖 3(A) 所示。很顯然，那些偶極矩很大的體系，也必定是貝里曲率很強的體系。

(2) 追求大貝里曲率的材料。即便是從貝里曲率和磁場 B 之間的簡單類比，物理人也能明白，鐵磁金屬和半導體體系中一定有很多大貝里曲率的體系。事實也是如此，包括萬賢綱一開始就預言的磁性外爾半金屬。除此之外，中心反演對稱破缺的非磁性體系也可有非零貝里曲率，著名的 TaAs 就是一個例子，如圖 3(B) 所示。外爾半金屬中的外爾點，其實就是貝里曲率奇異點。正因為貝里曲率類比于實空間磁場 B，物理人才將外爾半金屬中一對一對的外爾點說成是 k 空間中的“磁單極”。當然，這里的“磁單極”，并非經典電磁學中的“磁單極”，或者說此“磁單極”非彼“磁單極”。推而廣之，物理人還發現，在諸多 type - I 和 type - II 外爾半金屬中，那些傾斜扭曲 (tilted) 的外爾錐處不但有很大的貝里曲率，且其一階矩也可以很大，如圖 2(D) 所示：它們都是大貝里曲率的材料。

(3) 在發現具體材料之外，物理人也關注有哪些典型晶體結構可以有很大的貝里曲率。例如，諸多二維結構的貝里曲率可以很大，特別是那些具有垂直鏡面對稱 (點群 Cs) 的結構。具有面外旋轉對稱軸的結構、面內六角或三角對稱結構、魔角結構等二維結構，即便是完全沒有 SOC 的體系，依然可以有很大的貝里曲率及一階偶極矩。

尋找大的貝里曲率及其一階矩的各種探索，在過去幾年顯得非常熱火，也誕生了諸多成果，讓物理人發展k 空間高品質“電磁學”的努力受到很大鼓舞。不過，這樣的探索，依然面臨材料種類和物理約束過于嚴苛的局面，即便到今天，從更原理層面去尋求一些可能的新體系，依然充滿挑戰和誘惑。正因為如此，時常會有一些令人一時不解、但不久卻會眼睛一亮的思路和嘗試冒出來，讓人回味而輾轉。

果不其然，來自意大利薩萊諾大學物理系 (Dipartimento di Fisica, Universita diSalerno) 的量子凝聚態理論學者 Carmine Ortix 教授 (他最近幾年十分活躍和高產)，帶領他的團隊，與瑞士 University of Geneva的量子材料知名學者 Andrea D. Caviglia 合作，近些年一直致力于拓撲量子材料的探索。最近，他們于前人工作基礎上提出，在非磁性、非中心對稱的晶體結構中，即便沒有空穴激發 (hole excitations)，依然可以由晶體場誘發出一些貝里曲率高度濃縮集中的區域，給 k 空間“電磁學”帶來實空間電磁學所沒有的別樣風景。

圖 4. 由晶體場誘導的軌道角動量可以調控貝里曲率：(A) Spin and orbital mechanisms of Berry curvature。(B) Orbital design of Berrycurvature hot-spots and pinch points。

Ortix 他們的這一工作，側重于理論構建和推演，對小編閱讀理解構成巨大勢壘。小編且先將部分結果集成于圖 4 中，再寫幾段囫圇吞棗式的讀書筆記：

(1) 在非磁性及 SOC 很弱的體系中，貝里曲率很強的結構應該不多。畢竟沒有等效磁場對能帶劈裂的加持效果，形成大貝里曲率并不容易。

(2) 那些中心反演對稱破缺之拓撲半金屬體系，如 TaAs 等，當然可以有很大的貝里曲率及一階矩 (dipole,first moment)。不過，這樣的體系，加上外爾半金屬的特征，需要外爾點處電子和空穴共同激發、疊加，才能實現大的貝里曲率效應。這一要求有些嚴苛，滿足要求的體系可能不那么多。另外，貝里曲率大的區域，主要圍繞在外爾點附近。而空間反演對稱破缺誘發的外爾半金屬，其布里淵區內形成的外爾點密度并不高，故而 k 空間整體貝里曲率就不大可能很大。

(3) Ortix 他們通過深入理論分析，似乎找到了一類具有特定軌道自由度 (軌道角動量) 的電子結構，即便不存在費米面處的空穴激發，即便沒有磁性、沒有自旋 - 軌道耦合 SOC，只要其晶格對稱性足夠低 (例如點群 C3v和 Cs等對稱性)，就可以通過晶體場分裂能帶，形成若干所謂的貝里曲率會聚區 (Berrycurvature hot - spots) 和奇異夾點 (Berry curvature singular pinchpoint)，從而實現貝爾曲率及一階偶極矩顯著增強。當然，軌道自由度對拓撲能帶的影響，前人已經有相關研究，并非 Ortix 他們的原創。

(4) 基于以上分析，Ortix 他們還給出了具體的候選材料，并建議后來者去實驗驗證。他們指出，具有較強晶體場和晶格畸變、數目眾多的鈣鈦礦 ABO3 過渡金屬氧化物家族中，就存在很多這樣的體系，包括由 SrTiO3、KTaO3和 SrVO3 等組成依 (111) 面構成的異質結體系，可能實現大貝里曲率效應。那些 (111) 面取向的低維晶體，也可能具有很大的貝里曲率。

應該說，Carmine Ortix 他們的這一工作，提出了一類基于晶體場和軌道自由度 (軌道角動量) 操控 k 空間貝里曲率的理論方案，并預言幾類非磁性、無 SOC 的過渡金屬氧化物低維結構可以實現大的貝里曲率和大的非線性霍爾效應，給了 Ising 胡謅的“k 空間電磁學”以正面素材。隨后，Ortix 他們也宣示這一理論對所謂的“軌道電子學”做出了創新性貢獻，并展望了這一理論框架在未來的狄拉克準粒子物理、電聲相互作用物理中所起的作用。從這一角度看，軌道自由度誘導的大貝里曲率效應，是有意義的、值得后來者跟隨和進一步探索的新物理。需要特別指出，基于軌道自由度的霍爾效應 (如 OHE)，已經見諸報道，但借助晶體場實現大的貝里曲率這一思路和嘗試，卻是他們新的、有意義的貢獻。

審核編輯：劉清