very amazing啊，這說明什么，這說明我們想要實現 t-product積 不用費勁的去搞循環矩陣，也不用去搞什么分塊展開再折疊，我們要做的只是， 傅立葉變換--相乘--傅立葉逆變換 ！！！

** PART.1 流程講解**

原本的t-QR分解流程：

** PART.2 MATLAB實現**

原始版本t-product

function C=t_prod(A,B)
% @author:slandarer
% 用于進行張量t-product積
% A*B=fold(bcirc(A)·unfold(B))

% 獲取張量大小
[l,p,n]=size(A);dimA=[l,p,n];
[p,m,n]=size(B);dimB=[p,m,n];
dimC=[l,m,n];

if dimA(2)~=dimB(1) || dimA(3)~=dimB(3) 
    error('Inner tensor dimensions must agree.');
end

% 對A，B進行unfold展開操作
ufold_A=reshape(permute(A,[2,1,3]),dimA(2),[])';
ufold_B=reshape(permute(B,[2,1,3]),dimB(2),[])';

% 對A構建循環矩陣
bcirc_A=zeros([l*n,p*n]);
for i=1:n
    bcirc_A(:,(1:p)+(i-1)*p)=circshift(ufold_A,l*(i-1),1);
end

% bcirc(A)·unfold(B)
AB=bcirc_A*ufold_B;

% 還原張量維度
C=ipermute(reshape(AB',dimC([2,1,3])),[2,1,3]);
end

fft版本t-product

function C=t_prod_fft(A,B)
% @author:slandarer
% 基于快速傅立葉變換的張量t-product積

if size(A,2)~=size(B,1) || size(A,3)~=size(B,3) 
    error('Inner tensor dimensions must agree.');
end

fftA=fft(A,[],3);
fftB=fft(B,[],3);
fftC=zeros([size(A,1),size(B,2),size(A,3)]);
for i=1:size(A,3)
    fftC(:,:,i)=fftA(:,:,i)*fftB(:,:,i);   
end
C=ifft(fftC,[],3);
end

比較測試

% test t-product
addpath('.t_product')

A=zeros(2,3,3);
A(:,:,1)=[1  2  3; 3  4  5];
A(:,:,2)=[5  6  7; 7  8  9];
A(:,:,3)=[9 10 11;11 12 13];

B=zeros(3,2,3);
B(:,:,1)=[1  2; 3  4; 5  6];
B(:,:,2)=[5  6; 7  8; 9 10];
B(:,:,3)=[9 10;11 12;13 14];


tic
C1=t_prod(A,B)
toc

tic
C2=t_prod_fft(A,B)
toc

C1(:,:,1) =

438 492

564 636

C1(:,:,2) =

438 492

564 636

C1(:,:,3) =

294 348

420 492

歷時 0.005764 秒。

C2(:,:,1) =

438 492

564 636

C2(:,:,2) =

438 492

564 636

C2(:,:,3) =

294 348

420 492

歷時 0.001014 秒。

可以發現結果完全相同，而fft版本代碼更簡短，而且因為省去了循環矩陣創建等操作，運行速度也相較于原始版本更快。