2.1 歐拉定理

歐拉定理是剛體定點轉動理論中的一個重要定理，它表明剛體繞固定點的任何位移都可以通過繞通過此點的某一軸轉過一個角度來實現。在單位時間間隔Δt內，假設剛體的角速度為ω，則該轉動軸的方向e及繞該軸轉過的角度φ分別為：e = ω/|ω|，φ = |ω|Δt。

相應四元數表示式為：

滿足約束條件

以超復數形式表示有：

滿足約束條件

利用三角公式：

可將四元數轉化成姿態矩陣 b系到R系

可將四元數轉化成姿態矩陣 R系到b系

Tips：R系是一種用于描述空間中點位置的導航坐標系，其中的坐標值表示相對于地球的位置。b系是一種用于描述載體（例如航空器、船舶等）位置的坐標系，其中的坐標值表示相對于載體的位置。

3. Matlabe四元數轉方向余弦矩陣

API

function[y1,...,yN]=myfun(x1,...,xM)聲明名為myfun的函數，該函數接受輸入x1,...,xM并返回輸出y1,...,yN

q2mat(),qua2dcm(),quat2dcm()將四元數轉換矩陣

4.C語言實現四元數轉方向余弦矩陣

基于 QMI8658 姿態傳感器實現四元數轉換為方向余弦矩陣的過程如下：

STEP1: 根據傳感器獲取到的四元數數據，我們可以得到四元數的四個分量：q0、q1、q2、q3。

STEP2: 我們可以根據四元數的定義，將其轉換為方向余弦矩陣。具體的轉換公式如下：

| C11  C12  C13 |
| C21  C22  C23 |
| C31  C32  C33 |
其中，C11、C12、C13、C21、C22、C23、C31、C32、C33 
分別表示方向余弦矩陣的九個元素。

STEP3: 我們可以通過串口將獲取到的四元數和方向余弦矩陣輸出。

以下是基于 QMI8658 姿態傳感器獲取到的靜止放置在水平面，Z軸向上的四元數和方向余弦矩陣數據：

我可以使用Wolfram Alpha計算器進行計算和校驗，并給出結果。

審核編輯：劉清