IIR濾波器種類和設計
IIR濾波器（Infinite Impulse Response Filter）是一種數字濾波器，具有無限沖激響應特性。相對于FIR（有限沖激響應）濾波器，IIR濾波器具有更高的靈活性和更小的計算復雜度。本文將介紹IIR濾波器的原理、特點以及常見的設計方法。
一、IIR濾波器原理
IIR濾波器的原理基于差分方程，其中當前輸出值取決于當前輸入值和過去輸出值的線性組合。這種遞歸結構導致IIR濾波器具有無限的沖激響應，因此可以對輸入信號進行更復雜的頻率響應調整。
IIR濾波器的差分方程一般形式如下：
y[n] = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + ... + bm * x[n-m] - a1 * y[n-1] - ... - an * y[n-n]
其中， x[n] 是當前輸入信號值， y[n] 是當前輸出信號值，b0, b1, ..., bm是輸入系數，a1, ..., an是輸出系數，m和n分別表示濾波器的輸入和輸出階數。
IIR濾波器可以分為兩類：無零點IIR濾波器和有零點IIR濾波器。無零點IIR濾波器的輸出僅由過去的輸出值和當前輸入值決定，而有零點IIR濾波器的輸出還受到過去的輸入值的影響。
二、IIR濾波器特點
IIR濾波器具有以下特點：
遞歸結構 ：IIR濾波器通過反饋將輸出連接到輸入，形成遞歸結構。這種結構可以實現更高階的濾波器，使得在相同濾波器階數的情況下，與FIR濾波器相比，IIR濾波器具有更小的延遲和更高的頻率選擇能力。
寬帶特性 ：相對于FIR濾波器，IIR濾波器可以實現更寬的帶通和帶阻特性，可以更好地適應頻率選擇要求。
計算效率 ：IIR濾波器通常比FIR濾波器具有更高的計算效率，因為它們不需要存儲大量的前期樣本，而是通過遞歸運算實現濾波過程。
頻率選擇 ：IIR濾波器可以實現更復雜的頻率選擇，例如橢圓濾波器和Chebyshev濾波器等，這些濾波器在某些應用中具有更好的頻率響應特性。
時域響應 ：IIR濾波器的時域響應通常具有較長的尾部，這意味著它們對輸入信號的變化有較慢的響應。這可以在一些應用中產生特殊的效果，如音頻音效處理和混響效果。
穩定性 ：IIR濾波器的穩定性與極點的位置有關。為了確保濾波器的穩定性，極點必須位于單位圓內的穩定區域。因此，在IIR濾波器設計中，需要采取措施來控制極點的位置，以確保濾波器的穩定性。
三、IIR濾波器種類和設計
經典的IIR濾波器類型，包括Butterworth濾波器、Chebyshev I類和II類濾波器、橢圓濾波器和Bessel濾波器，都是為了逼近理想的矩形濾波器而設計的。
理想的矩形濾波器是在頻率域中具有矩形形狀的濾波器，它可以完全通過在通帶內傳遞所需的頻率分量，同時在阻帶內完全抑制不需要的頻率分量。然而，實際上很難實現理想的矩形濾波器，因為它要求在頻率域中產生無限寬的截止帶和無限陡的過渡帶。
經典的IIR濾波器類型采用不同的設計策略來逼近理想的矩形濾波器：
（1）Butterworth濾波器：通過在通帶和阻帶之間均勻分布的幅度衰減來逼近理想矩形濾波器的幅頻響應特性。它在通帶內具有平坦的幅度響應，但在阻帶中的衰減率相對較低。
（2）Chebyshev I類和II類濾波器：通過引入波紋來實現更陡峭的過渡帶和更高的阻帶衰減，從而更接近理想的矩形濾波器。Chebyshev I類濾波器在通帶內具有最小的波紋，而Chebyshev II類濾波器在阻帶內具有最小的波紋。
（3）橢圓濾波器：使用Cauer函數來設計，通過在通帶和阻帶內都具有波紋來實現更 steepend 的過渡帶和更高的阻帶衰減。橢圓濾波器在通帶和阻帶內都能夠實現較小的幅度波紋。
（4）Bessel濾波器：通過在頻率域中具有線性相位特性來逼近理想的矩形濾波器的相位響應。它對信號的相位不會引入額外的失真，但在幅度響應方面具有相對平滑的特性。
每種IIR濾波器類型都有其特定的設計方法和特點，適用于不同的應用場景和設計要求。選擇適當的IIR濾波器類型取決于所需的頻率響應特性、相位特性和設計復雜度。
3.1 Butterworth濾波器 ：
原理：Butterworth濾波器是一種最常見的IIR濾波器，其設計目標是在通帶內具有盡可能平坦的幅度響應，同時保持最小的相位失真。它的特點是具有光滑的頻率響應曲線，沒有幅度波紋。
設計：Butterworth濾波器的設計通過控制濾波器的階數和截止頻率來實現。階數越高，濾波器的頻率選擇能力越強。
import numpy as np
from scipy.signal import butter, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成示例數據
fs = 1000 # 采樣頻率
t = np.arange(0, 1, 1/fs) # 時間序列
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.random.randn(len(t)) * 0.2 # 混合信號
# 定義Butterworth濾波器函數
def butterworth_filter(data, cutoff_freq, filter_type, order, fs):
nyquist_freq = 0.5 * fs
cutoff = cutoff_freq / nyquist_freq
# 設計Butterworth濾波器系數
b, a = butter(order, cutoff, btype=filter_type, analog=False, output='ba')
# 將濾波器應用于數據
filtered_data = filtfilt(b, a, data)
return filtered_data
# 設計并應用低通濾波器
cutoff_freq = 30 # 截止頻率
order = 4 # 階數
filter_type = 'lowpass' # 濾波器類型
lowpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freq, filter_type, order, fs)
# 設計并應用帶通濾波器
cutoff_freqs = [20, 80] # 截止頻率范圍
order = 4 # 階數
filter_type = 'bandpass' # 濾波器類型
bandpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freqs, filter_type, order, fs)
# 設計并應用高通濾波器
cutoff_freq = 50 # 截止頻率
order = 4 # 階數
filter_type = 'highpass' # 濾波器類型
highpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freq, filter_type, order, fs)
# 設計并應用帶阻濾波器
cutoff_freqs = [40, 60] # 截止頻率范圍
order = 4 # 階數
filter_type = 'bandstop' # 濾波器類型
bandstop_data = butterworth_filter(x, cutoff_freqs, filter_type, order, fs)
# 繪制原始信號和濾波后的信號
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')
plt.subplot(5, 1, 2)
plt.plot(t, lowpass_data)
plt.title('Lowpass Filtered Signal')
plt.subplot(5, 1, 3)
plt.plot(t, bandpass_data)
plt.title('Bandpass Filtered Signal')
plt.subplot(5, 1, 4)
plt.plot(t, highpass_data)
plt.title('Highpass Filtered Signal')
plt.subplot(5, 1, 5)
plt.plot(t, bandstop_data)
plt.title('Bandstop Filtered Signal')
plt.tight_layout()
plt.show()