1 定義

只要是存在不確定信息的動態系統，卡爾曼濾波就可以對系統下一步要做什么做出有根據的推測。即便有噪聲信息干擾，卡爾曼濾波通常也能很好的弄清楚究竟發生了什么，找出現象間不易察覺的相關性因此卡爾曼濾波非常適合不斷變化的系統，它的優點還有內存占用較小（只需保留前一個狀態）、速度快，是實時問題和嵌入式系統的理想選擇。

2 應用

比如跟蹤目標，但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態信息,設法去掉噪聲的影響，得到一個關于目標位置的好的估計。這個估計可以是對當前目標位置的估計(濾波)，也可以是對于將來位置的估計(預測)，也可以是對過去位置的估計(插值或平滑)。

3 卡爾曼濾波眼里的行人跟蹤問題

下面是圖例公式的描述,初學同學可能有點蒙，建議去查一下卡爾曼濾波相關視頻（然后發現還是蒙/壞笑/,但每次的學習都會有新的發現/加油/）

下面是UP學習了不錯文章作者Bzarg

一個包含位置信息和速度信息的狀 x=（p,v）

卡爾曼濾波假設兩個變量（在我們的例子里是位置和速度）都應該是隨機的，而且符合高斯分布。如下圖

位置和速度是不相關的，這意味著我們不能從一個變量推測另一個變量。那么如果位置和速度相關呢？如下圖所示，人前往特定位置的可能性取決于它擁有的速度。

這不難理解，如果基于舊位置估計新位置，我們會產生這兩個結論：如果速度很快，人可能移動得更遠，所以得到的位置會更遠；如果速度很慢，人就走不了那么遠。

這種關系對目標跟蹤來說非常重要，因為它提供了更多信息：一個可以衡量可能性的標準。這就是卡爾曼濾波的目標：從不確定信息中擠出盡可能多的信息！

為了捕獲這種相關性，我們用的是協方差矩陣。簡而言之，矩陣的每個值是第i個變量和第j個變量之間的相關程度（由于矩陣是對稱的，i和j的位置可以隨便交換）。我們用表示協方差矩陣，在這個例子中，就是

。

為了把以上關于狀態的信息建模為高斯分布（圖中色塊），我們還需要k時的兩個信息：最佳估計

（均值，也就是

，協方差矩陣

。（雖然還是用了位置和速度兩個變量，但只要和問題相關，卡爾曼濾波可以包含任意數量的變量）

接下來，我們要通過查看當前狀態（k-1時）來預測下一個狀態（k時）。這里我們查看的狀態不是真值，但預測函數無視真假，可以給出新分布：

我們可以用矩陣

表示這個預測步驟：

它從原始預測中取每一點，并將其移動到新的預測位置。如果原始預測是正確的，系統就會移動到新位置。這是怎么做到的？為什么我們可以用矩陣來預測人下一刻的位置和速度？下面是個簡單公式：

換成矩陣形式：

這是一個預測矩陣，它能給出人的下一個狀態，但目前我們還不知道協方差矩陣的更新方法。這也是我們要引出下面這個等式的原因：如果我們將分布中的每個點乘以矩陣A，那么它的協方差矩陣會發生什么變化

把這個式子和上面的最佳估計

結合，可得：

外部影響

但是，除了速度和位置，外因也會對系統造成影響。比如模擬火車運動，除了列車自駕系統，列車操作員可能會手動調速。在我們的機器人示例中，導航軟件也可以發出停止指令。對于這些信息，我們把它作為一個向量

，納入預測系統作為修正。假設油門設置和控制命令是已知的，我們知道火車的預期加速度a。根據運動學基本定理，我們可得：

把它轉成矩陣形式：

是控制矩陣，

是控制向量。如果外部環境異常簡單，我們可以忽略這部分內容，但是如果添加了外部影響后，模型的準確率還是上不去，這又是為什么呢？

外部不確定性

但是，如果存在我們不知道的力量呢？當我們監控無人機時，它可能會受到風的影響；當我們跟蹤輪式機器人時，它的輪胎可能會打滑，或者粗糙地面會降低它的移速。這些因素是難以掌握的，如果出現其中的任意一種情況，預測結果就難以保障。這要求我們在每個預測步驟后再加上一些新的不確定性，來模擬和“世界”相關的所有不確定性：

如上圖所示，加上外部不確定性后，

的每個預測狀態都可能會移動到另一點，也就是藍色的高斯分布會移動到紫色高斯分布的位置，并且具有協方差

。換句話說，我們把這些不確定影響視為協方差

的噪聲。

這個紫色的高斯分布擁有和原分布相同的均值，但協方差不同。

我們在原式上加入

新的最佳估計是基于原最佳估計和已知外部影響矯正后得到的預測

新的不確定性是基于原不確定性和外部環境不確定性得到的預測