20 世紀 40 年代，研究原子彈的科學家應用 Monte Carlo 模擬計算了一個裂變鈾原子引起另一個裂變反應的概率，這是該模擬的首次應用，自此以來已經取得了很大進展。今天我們將介紹如何使用 Minitab 為已知的工程公式和 DOE 方程創建 Monte Carlo 模擬。

由于當時鈾供應短缺，試驗的試錯空間很小，因此 Monte Carlo 模擬一直專注于根據模擬數據計算可靠的概率。如今，從材料工程到醫療設備包裝密封再到煉鋼，模擬數據經常用于許多場景，例如資源有限的場景，或者收集真實數據過于昂貴或不切實際的場景。使用 Engage 或 Workspace 的 Monte Carlo 模擬工具可以：

（1）模擬可能結果的范圍以幫助做出決策

（2）預測財務結果或估計項目時間表

（3）了解過程或系統中的變異性

（4）在過程或系統中發現問題

（5）通過了解成本/效益關系來管理風險

開始使用任何 Monte Carlo 模擬的4 個步驟

模擬可能非常復雜，具體取決于所涉及因子的數量。但所有 Monte Carlo 模擬基本上都有四個簡單的步驟：

? 確定傳輸方程

要創建 Monte Carlo 模擬，您需要一個包含要探索的業務活動、計劃或過程的定量模型。過程的數學表達式稱為“傳輸方程”。這可以是已知的工程或業務公式，也可以基于根據設計試驗 (DOE) 或回歸分析創建的模型。借助 Minitab Engage 和 Minitab Workspace 等軟件，您能夠創建復雜的方程，甚至是具有多個可能相互依賴的響應的方程。

? 定義輸入參數

對于傳輸方程中的每個因子，確定其數據的分布方式。一些輸入可能遵循正態分布，而另一些則遵循三角分布或均勻分布。然后，您需要確定每個輸入的分布參數。例如，需要為遵循正態分布的輸入指定均值和標準差。如果您不確定數據遵循哪種分布，可以使用 Engage 和 Workspace 提供的工具來確定。

? 設置模擬

要進行有效的模擬，您必須為每個輸入創建一個非常大的隨機數據集（大約包含 100,000 個實例）。這些隨機數據點模擬在很長一段時間內，對于每個輸入將看到的值。盡管聽起來工作量很大，但這正是 Engage 和 Workspace 的亮點。一旦我們提交輸入和模型，一切都會得到處理。

? 分析過程輸出

有了模擬數據，您就可以使用傳輸方程來計算模擬結果。考慮到輸入中的預期變異，通過模型運行足夠多的模擬輸入數據將可靠地指出該過程將在一段時間內輸出的內容。

Monte Carlo 使用已知工程公式的4 個步驟

一家制造公司需要評估所提議產品的設計，這是一款每分鐘必須泵送 12 毫升流體的小型活塞泵。考慮到活塞直徑 (D)、沖程長度 (L) 和每分鐘沖程數 (RPM) 的自然變異，您想要估計數千個泵的可能性能。理想情況下，數千個泵的泵流量將具有不大于 0.2 毫升的標準差。

? 確定傳輸方程

進行 Monte Carlo 模擬的第一步是確定傳輸方程。在本例中，您只需使用已知的工程公式來測量泵流量：

流量（以毫升為單位）= π(D/2)2 ? L ? RPM

? 定義輸入參數

現在，必須定義傳輸方程中使用的每個輸入的分布和參數。泵的活塞直徑和沖程長度是已知的，但必須計算達到所需 12 毫升/分鐘流速所需的每分鐘沖程數 (RPM)。每個沖程泵送的體積按以下方程計算：π(D/2)2 * L

如果 D = 0.8，L = 2.5，則每個沖程排出 1.256 毫升流體。因此，要達到 12 毫升/分鐘的流速，RPM 為 9.549。

根據貴廠制造的其他泵的性能，您可以假定活塞直徑呈正態分布，均值為 0.8 厘米，標準差為 0.003 厘米。沖程長度呈正態分布，均值為 2.5 厘米，標準差為 0.15 厘米。最后，每分鐘沖程數呈正態分布，均值為 9.549 RPM，標準差為 0.17 RPM。

? 在 Engage 或 Workspace 中設置模擬

單擊頂部功能區中的插入選項卡，然后選擇 Monte Carlo 模擬。

我們將它變得非常簡單 — 您只需為每個變量提供名稱，從下拉菜單中選擇一個分布，然后輸入參數。我們將按照上面所述的內容進行操作。如果您不確定數據遵循哪種分布，可以選擇使用數據確定。這將提示您上傳數據的 .csv 文件，可從以下幾個選項中進行選擇：

? 模擬和分析過程輸出

下一步是給出方程。在這里，操作非常簡單，只需為您的輸出提供名稱（我們提供的名稱是 Flow），然后鍵入我們在上面確定的正確傳輸方程。您還可以添加規格上限和規格下限以查看模擬的比較情況。

然后，在功能區中，選擇要運行的模擬數量（100,000 是不錯的基準），然后單擊用來運行模擬的按鈕。

對于為了撰寫本文而生成的隨機數據，基于 100,000 個樣本的平均流速為 11.996。從平均值來看，我們達到了目標，但最小值為 8.7817，最大值為 15.7057。這是一個相當大的范圍。（所有組件的）傳輸變異導致標準差為 0.756 毫升，這遠遠超過目標值 0.2 毫升。

看起來這種泵的設計變異太大，需要在投入生產之前進一步完善。從這里，我們看到模擬所帶來的好處。如果我們直接投入生產，很可能會生產出太多被退貨的泵。借助 Monte Carlo 模擬，我們能夠解決所有這些問題，而不會因制造和測試數千個原型或過早投入生產而產生費用。

您可能想了解這些模擬結果是否站得住腳，不妨自己嘗試一下吧！運行不同的模擬將導致輕微的變化，但每次的最終結果（流速變異量不可接受）都會保持一致。這就是 Monte Carlo 方法的強大之處。

另一個可選步驟：參數優化

了解到標準差過高非常有價值，但 Engage 和 Workspace 真正突出的地方在于它們能夠幫助改善狀況。這就是參數優化的用武之地。

讓我們看看第一個輸入：活塞直徑。平均值為 0.8，大部分數據將接近該值，或者在平均值的一兩個標準差內。但是，如果活塞直徑越小，流動效率越高，該怎么辦？參數優化有助于我們回答這個問題。

為了進行參數優化，我們需要為每個輸入指定搜索范圍。在本例中，為簡單起見，我指定的算法搜索范圍是 +/- 3 個標準差。然后，Engage 或 Workspace 將幫助我們為每個輸入找到要實現目標（在本例中是減小標準差）的最佳設置。選擇合適的范圍至關重要；確保您輸入的整個范圍都可以運行；如果找到的最佳解決方案無法在生產環境中復制，則毫無用處。

如果您在 Minitab Statistical Software 中用過響應優化器，則原理類似。下面是我們的結果：

基于以上結果，如果要減小標準差，則應當減小沖程長度和每分鐘沖程數。活塞直徑可以保持類似大小。請記住，Monte Carlo 模擬的關鍵之處在于，能夠在不構建單個新原型或進行新試驗的情況下找出所有這些結果。

Monte Carlo 使用試驗設計 (DOE) 響應方程

如果您不知道要使用什么方程，或者您正在嘗試模擬獨特過程的結果，該怎么辦？此時，我們可以將 Minitab Statistical Software 的設計試驗功能與 Engage 或 Workspace 的模擬功能相結合。

一家電子制造商已指派您改進其電極清潔操作，該操作為電鍍金屬部件做準備。制造商通過電鍍在原材料上涂上一層不同的金屬，以實現所需的特性。電鍍不會附著在骯臟的表面上，因此該公司有一個連接到自動電鍍機的連續流電極清洗系統。傳送帶將每個部件浸入槽中，槽中的電壓通過部件傳送，從而對部件進行清潔。如果清潔不充分，會導致平均粗糙度的均方根（簡稱 RMS）值太高以及表面光潔度較差。經過正確清潔的部件具有光滑的表面和較低的 RMS。

為了優化該過程，可以調整兩個關鍵輸入：電壓 (Vdc) 和電流密度 (ASF)。對于電極清潔方法，Vdc 的典型工程限值為 3 至 12 伏。電流密度限值為 10 至 150 安培/平方英尺 (ASF)。

? 確定傳輸方程

您不能針對該過程使用教材上的已知公式，但可以在 Minitab 中設置響應曲面 DOE 以確定傳輸方程。響應曲面 DOE 通常用于通過為“關鍵少數”可控因子尋找最佳設置來優化響應。

在本例中，響應將是部件在清潔后的表面質量。

要在 Minitab 中創建響應曲面試驗，請選擇統計 > DOE > 響應曲面 > 創建響應曲面設計。由于我們有兩個因子（電壓 (Vdc) 和電流密度 (ASF)），因此我們將選擇試驗次數為 13 的雙因子中心復合設計。

Minitab 創建設計試驗后，您需要執行 13 次試驗、收集數據并記錄 13 個清潔后部件的表面粗糙度。通過 Minitab，可輕松分析 DOE 結果、簡化模型和使用殘差圖檢查假定。使用最終模型和 Minitab 的響應優化器，可以找到變量的最佳設置。在本例中，您將電壓設置為 7.74，將 ASF 設置為 77.8，所獲得的粗糙度值為 39.4。

響應曲面 DOE 為 Monte Carlo 模擬生成以下傳輸方程：

粗糙度 = 957.8 ? 189.4(Vdc) ? 4.81(ASF) + 12.26(Vdc2) + 0.0309(ASF2)

? 定義輸入參數

現在，您可以為Monte Carlo模擬輸入設置參數定義，并將它們帶入Engage或Workspace 中。

請注意，標準差必須已知或基于現有的過程知識進行估計。這適用于所有 Monte Carlo 輸入。電壓呈正態分布，均值為 7.74 Vdc，標準差為 0.14 Vdc。每平方英尺安培數 (ASF) 呈正態分布，均值為 77.8 ASF，標準差為 3 ASF。

? 在 Engage 或 Workspace 中設置模擬

這與步驟 3 完全相同。單擊功能區中的插入 > Monte Carlo 模擬，添加您的輸入并定義其參數，然后輸入您的模型。在本例中，如果您擁有最新版本的 Minitab，則可以單擊鼠標右鍵，然后點擊發送到 Engage或發送到 Minitab Workspace。如果您沒有，則可以從 Minitab 輸出中手動復制它并將其粘貼到 Engage 或 Workspace 的模型字段中。

? 模擬和分析過程輸出

匯總表明，即使基礎輸入呈正態分布，RMS 粗糙度的分布也不是正態的。該匯總還顯示所有組件的傳輸變異導致標準差為 0.521，根據您掌握的過程知識判斷，這是不錯的過程結果。基于試驗次數僅為 13 的 DOE，我們可以確定在該過程中將看到的實際情況。同樣，由于這基于模擬數據，您的答案會略有不同，但通常而言答案應該是正確的。如有必要，我們可以查看參數優化以微調我們的答案并找到最佳解決方案。

審核編輯 黃昊宇