任何適合產品實現的算法，都是將簡易實現作為第一目標。CORDIC算法是建立在適應性濾波器、FFT、解調器等眾多應用基礎上計算超越函數的方法。其核心思想是二分逐次逼近。

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐標旋轉數字計算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數、雙曲線、指數、對數的計算。該算法通過基本的加和移位運算代替乘法運算，使得矢量的旋轉和定向的計算不再需要三角函數、乘法、開方、反三角、指數等函數。

本文是基于使用Verilog HDL設計實現Cordic算法，實現正弦、余弦、反正切函數的實現。將復雜的運算轉化成RTL擅長的加減法和乘法，而乘法運算可以用移位運算代替。Cordic算法有兩種模式，旋轉模式和向量模式。可以在圓坐標系、線性坐標系、雙曲線坐標系使用。本文初步實現在圓坐標系下的兩種模式的算法實現。

旋轉模式，迭代位移算法。假設有一點P0（x0,y0），經過逆時針旋轉角度θ，到達點Pm（xm，ym），我們根據數學運算可以得到公式如下:

xm = x0cosθ - y0sinθ

= cosθ(x0 – y0tanθ)

ym = x0sinθ +y0cosθ

=cosθ(x0tanθ+y0)

如果不考慮旋轉后的向量模值，只考慮旋轉角度，即去掉cosθ，得到如下方程式。這里旋轉的角度的正確的，但xm和ym的值增加。cosθ值是小于等于1的，它的倒數值大于等于1，所以xm和ym模值增大了。去掉cosθ項可以方便我們后面的坐標平面旋轉的計算。這里稱為偽旋轉。

xm = x0 – y0tanθ ym =x0tanθ+y0

Cordic的方法核心就是偽旋轉，將旋轉角θ細化成若干個大小固定的角度θi，規定θi滿足tanθi = 2^-i，通過一系列的迭代旋轉，每次旋轉θi，i為迭代次數，規定∑θi的范圍即旋轉角度θ的范圍為[-99.7, 99.7]。如果θ的大于這個范圍則可通過三角運算操作轉化到該范圍的角度。

我們通過事先將所有每次旋轉的角度計算出來，由于每次旋轉的角度是固定的，所以經過i次旋轉的∑θi可能會超過θ，所以就必須設置一個方向值di，如果旋轉角度之和已經小于θ，則di為1，下次旋轉繼續為逆時針旋轉，如果旋轉角度之和大于θ，則di為-1，下次旋轉為順時針。設置zi+1為旋轉剩余角度，zi+1 = z0 – di *zi，z0 = θ，隨著i值的增大，zi+1會趨向于0時，即旋轉結束。di與zi的符號位相同。

采用偽旋轉的方法，每次提出一個cosθi，旋轉結束后會產生一個∏cosθi的累乘，一旦我們確定了迭代次數，∏cosθi就是一個常數，迭代公式可寫為。這是將cosθi提出、tanθi 替換成 2^-i后的結果。di與zi的符號位相同。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i yi+1 = yi + di * xi * 2^-i zi+1 = z0 - di * θi

設迭代i = n - 1，那么旋轉n次后得到Pm的坐標應該為（xn * ∏cosθi, yn * ∏cosθi）。因為每次迭代都會提出一個cosθi，旋轉n次后的xn和yn就會少乘一個∏cosθi，所以實際上最終的Pm坐標角度近似于(xn * ∏cosθi, yn * ∏cosθi)。

xn * ∏cosθi = x0cosθ - y0sinθ yn * ∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ xn = 1/∏cosθi (x0cosθ – y0sinθ) yn = 1/∏cosθi (y0cosθ +x0sinθ)

伸縮因子，KN = 1 / ∏cosθi，已知迭代次數，我們可以預先計算KN的值。如下這是使用MATLAB計算出的迭代結果數值。

xn =KN (x0cosθ – y0sinθ) yn = KN (y0cosθ +x0sinθ)

從上表可以得出，我們預先計算出KN的值，然后令x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則上述公式可化簡為

xn = cosθ yn = sinθ 即可實現正弦、余弦操作了。旋轉模式

Cordic算法旋轉模式使用Verilog HDL的實現流程

確定迭代次數，將每次迭代的角度計算出來，預先定義為參數，為了避免浮點運算，將角度值向左移位16位，取整數部分。

根據迭代公式進行迭代計算，本設計取16次迭代，從上表可以看出，當迭代次數越大時，1/∏cosθi會趨向于一個確定值。如果對結果精度要求更高，可以設置更高的迭代次數，根據迭代次數，可以將伸縮因子KN = 1/∏cosθi計算出來。同樣將其左移16位。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i yi+1 = yi + di * xi * 2^-i zi+1 = z0 - di * θi

設置x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則求出x16 = cosθ，y16 = sinθ。

這里需要注意的是，我們在進行迭代運算的時候，將2^-i變成移位運算，對于正余弦來說是有正負的，所以在一開始定義的時候，就應該定義成有符號數，Verilog中也可以定義有符號數，最高位表示符號位，定義如下

迭代寄存器定義為有符號數，那么我們移位運算就不能用>>邏輯右移<<邏輯左移或來移位了，而是用>>>算術右移和<<<算術左移。邏輯左移也就相當于算數左移，右邊統一添0?，邏輯右移，左邊統一添0?，算數右移，左邊添加的數和符號有關。

例如1010_1010， []是添加的位 邏輯左移一位：0101_010[0] 算數左移一位：0101_010[0] 邏輯右移一位：[0]101_0101 算數右移一位：[1]101_0101

迭代運算采用16級流水線進行運算，最終需要判斷輸出的正余弦值在哪個象限，前面講旋轉角度θ的范圍為[-99.7,99.7]，不在這個范圍我們要進行三角運算使其滿足這個范圍，當輸入的角度小于90度即可進行計算，當輸入角度大于90度小于180度，將輸入角度減去90度并設定當前角度處于第二象限，然后進行計算，當輸入角度大于180度小于270度，將輸入的角度減去180度設置當前角度處于第三象限，進行計算，當輸入的角度大于270度，減去270設置當前角度處于第四象限，進行計算。象限的設定通過quarant寄存器實現。

如果角度在第一象限，sin(x) = sin(a),cos(x) = sin(a)最后的結果x16 = cosθ, y16 = sinθ，這里我想起了那句口訣，一全正，二正弦，三正切，四余弦

如果角度在第二象限，

sin(x) = sin(a+90) = cos(a),

cos(x) = cos(a+90) = -sin(a)

如果角度在第三象限，

sin(x) = sin(a+180) = -sin(a),

cos(x) = cos(a+180) = -cos(a)

如果角度在第四象限，

sin(x) = sin(a+270) = cos(a),

cos(x) = cos(a+270) = -sin(a)

對于正數，我們直接賦值輸出，負數，這里使用有符號數表示，將其取反加1即可。最終使用modelsim對算法進行仿真，從波形圖上看已經初步實現了sin，cos函數。

向量模式

Cordic算法在向量模式下的計算方法和旋轉模式基本上是類似的，設有一點P0(x0, y0)，經過旋轉一定角度到與x軸重合，得到點Pm(xm, ym)，即ym = 0。

xm = x0cosθ - y0sinθ

= cosθ(x0 – y0tanθ)

ym = y0cosθ + x0sinθ

= cosθ(y0 +x0tanθ) = 0

我們設置x0 = x, y0 = y, z0 = 0,迭代次數為16，經過16次迭代后得到zn = θ = arctan(y/x)和坐標所代表的向量的模值d = xm = xn * ∏cosθi，di與yi方向相反，即當時結束運算。實現方法為判斷yi的符號位，符號位為1，di為1，符號位為0，di為-1。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

關于反正切函數，由于在[-99.7°，99.7°]范圍內，所以我們輸入向量P0(x0, y0)時，需要保證其在第一、四象限。

下面是使用MATLAB計算出來的數據和FPGA計算出來的數據進行比較。

從FPGA計算出的結果與MATLAB來比較，和實際結果之間的誤差還是挺小的，畢竟是硬件計算出來的數據，向量的誤差就比較大了，如果對于精度比較高的計算，我們可以通過提高迭代次數來提高精度。

使用ISE進行綜合并下載工程到開發板上實驗結果比較。

旋轉模式

Sin的理論數據

Chipscope抓取到的數據

Cos的理論數據

Chipscope抓取到的數據

向量模式

Arctan(y/x)理論數值

Chipscope抓取到的數據

坐標的模值的理論數據

責任編輯：haq