“如何用最困難的方法去掙100萬美元？”

“去證明黎曼猜想！”

這是在數學界流傳的一個笑話，黎曼猜想的難度可見一斑。

2000年5月，美國克雷數學研究所向全世界公布了七大數學難題，每個難題懸賞100萬美金，黎曼猜想就是其中第四個。

1900年，大數學家希爾伯特提出了23個歷史性數學難題，黎曼猜想是第八個問題的一部分。

作為唯一一個連上兩榜的難題，黎曼猜想牽動著每一位數學家的神經。所以，當2018年9月阿蒂亞爵士宣稱證明了黎曼猜想的時候，整個科學界炸鍋了。那么，黎曼猜想到底說了啥？普通的吃瓜群眾要怎樣才聽懂如此高深的數學問題？長尾科技今天就來給大家說道說道。

其實，在長尾科技的上一篇文章《終于知道為什么宇宙是11維的了，11竟然是這么來的……》里還恰巧就涉及到了一點點和黎曼猜想有關的東西。

歐拉的公式

不知道大家還記不記得上篇文章里提到的那個歐拉的不可思議公式：1+2+3+4+5+……=-1/12。正是這個公式讓超弦理論里光子的能量變成可以計算的，并最終確定了超弦理論里宇宙的維度。

上篇文章因為是講超弦理論的，所以這個公式也只是稍微提了一下，也跟大家說了當時歐拉的證明方法是不嚴謹的。并且這種加法也不是我們平常所說的加法，而是無窮級數的求和，數學家們為此甚至重新定義了“和”的概念。數學一涉及到這種無窮，很多東西就跟平常不一樣了，就跟物理學家在量子尺度看到的完全不一樣的世界一樣。

在這種無窮級數的求和，我們平常加法所使用的交換律（a+b=b+a）和結合律【（a+b）+c=a+（b+c）】都不再適用。

比如，看這樣一個數列求和：1，-1,1，-1,1……（正負1無窮交替）。

如果我們這樣配對：（1-1）+（1-1）+……=0。（它的和應該是0）

而如果這樣配對：1+（-1+1）+（-1+1）+……=1。（它的和又應該是1）

不同的結合方式得到的結果竟然是不一樣的，這在我們普通的加法里是不可想象的。這種問題在數學里叫發散級數求和，我并不打算在這里深入講這個，大家只需要知道這種求和跟我們平常所理解的求和不一樣，但是這種求和在物理上（比如超弦）具有很重要的意義就行了。

Zeta函數ζ(n)

歐拉的那個不可思議公式（1+2+3+4+5+……=-1/12）其實有一個更加一般的形式，這個更加一般形式就叫Zeta函數ζ(n)：

我們可以看到，上面那個自然級數的求和就是這個當Zeta函數里n=-1的時候的特例，即：

ζ(-1)=1+2+3+4+……=-1/12。

歐拉在1735年（28歲）就算出來了ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=π^2/6，并且通過這個一舉成名。

歐拉后面還要繼續跟這個Zeta函數打交道，并且發現這個函數里隱藏的驚天秘密，最終給黎曼和黎曼猜想打開了一扇大門。

那么，歐拉到底發現了Zeta函數里面隱藏的什么秘密呢？

答案就是：Zeta函數和質數之間有某種不可告人的關系。

為什么質數（素數）如此重要？

質數，也叫素數，我們在小學的時候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然數就叫質數（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），質數以外的自然數（就是說除了自己和1，還能被其他的）叫合數。

小時候我們知道質數和合數的定義，也知道要怎么判斷，但是我們未必知道質數的意義（不就是只能被自己和1整除嘛，有什么特別意義的）。

我們先來想一想，合數為什么叫合數？我們可以理解為合數是可以由其他的質數合成的數。小學我們就學過質因數分解：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這個質數就叫這個合數的分解質因數。

也就是說，我所有的合數都可以看成是由質數組合而成的，那么，只要我把這些處在最低層的質數的規律摸清楚了，那么上層的合數的規律就不在話下了。

這就好比我們學物理，只要我們把分子原子的規律搞清楚了，那么由分子原子組成的物質的性質也就搞清楚了。而質數在自然數里的地位，就相當于分子原子電子（現在應該是夸克）這些基本粒子在物理學的地位，所以你說它重不重要？

質數的規律

既然質數這么重要，那數學家們都去研究質數的規律啊，都別閑著?。?/p>

數學家們自覺得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究來研究去，發現這質數實在太難搞了，壓根就沒啥規律可言嘛。試圖通過簡單的多項式來找到質數規律的直接被判死刑了，不信我列舉100以內的質數你自己去找找規律看看，看看能找出什么規律：

100以內的質數：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

數學們發現質數有無窮多個，而且根本找不到簡單的多項式通項公式，要研究質數壓根不知道從而下手。

這種尷尬的局面一直要到歐拉發現了Zeta函數和質數之間的神秘聯系之后才被打破。

歐拉乘積公式

1737年，歐拉在一篇名為《無窮級數的各種觀察》的論文中首次發現了質數和Zeta函數之間的一種關系：Zeta 函數的求和等于1減去質數的-s 次方的倒數的求積。

這個公式叫做歐拉乘積公式（p為質數）：

這個公式看不太懂也沒關系，反正我們只要知道歐拉第一次發現了質數的乘積和Zeta函數的求和之間存在一種關系就行了。這種關系是現代質數理論的基礎，并且給后人指明了一個方向：想要了解質數的規律么？那么就去研究Zeta函數把，質數的規律極有可能就藏在Zeta函數里面。

質數的計數函數π(x)

在上面我們提到，想找到一個簡單的多項式公式來描述質數是不可能的，那我來研究一下質數的分布規律總可以吧，我想知道100以內大概有多少個質數，100萬以內大概有多少個質數，這個也非常的重要。

高斯引入質數的計數函數π(x)就是用來干這事的，π(x)表示小于x的質數數量，比如π(100)就表示小于100的質數有多少個。

π(x)其實是一個客觀確定的函數，比如我們都知道10以內的質數一共有4個（π(10)=4），20以內的質數一共有8個（π(20)=8），100以內的質數總共有25個（π(100)=25）等等。那么接下來我們就要找一個已知的函數來模擬它，讓這個函數取10的時候，它的值為4，取20的時候值為8，取100的的時候值為25。

因為我們沒有找到描述質數的準確規律，所以我們也無法找到一個精確的描述質數分布的函數，于是我們就只能盡可能去找一個誤差比較小的函數來代替它，讓我們對質數的分布有個大致的把握。

質數的計數函數π(x)是高斯提出來的，他自己先給出了一個近似模擬π(x)的函數：x/ln(x)。并且提出：當x逐漸增大到無窮大時候，π(x)和x/ln(x)應該近似相等。這個就叫素數定理。

后來，人們又提出了一個模擬π(x)的函數Li(x)，這個函數比x/ln(x)更加精確。

這幾個函數的圖如下，我們可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)確實更加精確一些。

但是，即便如此，數學家們還是不滿意。Li(x)即便精確一些，但是當x取到億級的時候，它將產生兩千多個誤差，這對眼里容不得沙子的數學家來說，依然是不可接受的。

難道就不能再找到更好的結果了么？

黎曼登場

前面做了那么多鋪墊，我們的主角黎曼終于要登場了。

我們先看一看這幾個人的出生年代：歐拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比歐拉小了70歲，黎曼比高斯小了49歲，而黎曼正好是高斯最得意的學生。從上面我們發現最悲傷的事情是：歐拉和高斯分別活了76歲和78歲，而黎曼只活了40歲。

如果黎曼能活得跟歐拉高斯一樣久，黎曼猜想或許早就被黎曼自己解決了，而且說不定黎曼能把相對論搞出來（愛因斯坦的廣義相對論的數學工具就是黎曼幾何）。黎曼的創造力和對數學的洞察力太驚人了，他隨便一個證明從略的東西就要花費后世數學家幾十年的時間去證明，而黎曼的運氣又太差了，他極其珍貴的手稿在他死后被管家一把火燒了，可見身體是革命的本錢??！

1859年，黎曼發表了關于質數分布的論文《論小于某給定值的素數的個數》，這是他在這個領域發表的唯一的一篇論文，卻被認為的該領域最重要的論文，不得不說有才就是任性。

黎曼 Zeta函數

關于Zeta函數我們在上面已經介紹了，歐拉第一個發現了質數和Zeta函數之前存在著某種不可告人的秘密，但是這種關系畢竟很有限。

黎曼做的一個重要的工作就是：把Zeta函數推廣到了復數，然后在復數這個更高的角度發現了Zeta函數跟質數之間更加深刻的關系。

我們先來回憶一下復數的概念：-3，2，0，1，5這種數是整數，整數加上有限小數和無限循環小數構成了有理數，有理數加上π、根號2這種無限不循環的無理數一起構成了實數，實數和虛數一起構成了復數。

虛數主要是通過一個虛數單位構成的，這個虛數單位記做i，這個i的一個神奇的特性就是：i的平方等于負一，即i^2=-1。

我們知道，在實數范圍里，任何一個數的平方都是大于等于0的數，但是現在出現了一個i，它的平方居然等于-1，那么這個i肯定就不是實數里面的了。那么，有這個i組成的數就叫虛數，實數和虛數一起就叫復數。

根據上面的定義，一個復數就可以寫成s = σ + it（其中σ 和 t 均為實數，i為虛數單位），當t=0的時候，這個復數就變成了一個實數。

黎曼Zeta函數就是把原來的Zeta函數拓展到了這個復數里面，也就是說下面的s代表一個復數。

函數的零點

我們在初中的時候就接觸過方程和函數。

方程是一個含有未知數的等式，使用方程可以讓我們省去逆向思維的痛苦，這在數學里是一個非常重要的思想。通常我們會把方程里所有的項都移到左邊，然右邊只剩下一個0，而通過解方程就可以求解出這個未知數。

比如，2x-4=0這是一個方程，因為只有x一個變量，而且最高次項只有一次（沒有平方立方啥的），所以這叫一元一次方程，也是最簡單的方程。我們通過觀察，很輕松的就可以發現當x=2的時候這個等式是成立，所以這個方程的解就是x=2。

然后，我們把方程的左邊單獨摘出來，把它賦給另外一個變量y，這樣就變成了y=2x-4，那么這樣就產生了一個函數。

我們觀察這個函數，當x=1的時候，y=-1;x=2的時候，y=0；x=3的時候，y=2等等等等。給定一個任何的x，我們的y都有一個唯一的值跟它對應。

那么，當x等于多少的時候，y等于0呢？這個問題就是函數的零點的問題，大家觀察一下就可以發現，如果y=0那么這個函數就變成了y=2x-4=0，這不就是之前的方程么？因為函數的零點問題其實是跟這個函數對應的方程的解的問題聯系在一起的，所以，這個函數的零點問題就顯得特別的重要。

那么好，在我們這個y=2x-4這個函數里，它有零點，并且只有x=2這一個零點，但是在很多函數里，它的零點就不止一個。比如說y=x^2-4（x的平方減4），這個函數就有x=2和x=-2兩個零點，它有兩個零點就意味著它對應的方程有兩個解，以此類推。

黎曼Zeta函數的零點

我們現在了解了一個函數的零點的概念，也懂得了它的意義，那么黎曼Zeta函數它是不是也是一個函數呢？既然是一個函數，那么它是不是也有零點？那么它的零點應該是什么樣的呢？

上面我們也說了，這個Zeta函數之所以要稱為黎曼Zeta函數，就是因為黎曼把這個函數拓展到了復數領域，那么相應的，這個函數的零點也應該是復數。

我們就假設黎曼Zeta函數的零點s=a+bi（這是一個復數，a為實數部分，簡稱實部，b為虛數部分，簡稱虛部）

黎曼對根據零點實部的大小給這些零點分了一個類：a<0的零點，0<=a<=1的零點和a>1的零點。

實部a<0的零點：這部分零點非常的簡單，就是在負偶數的地方有零點，比如-2，-4，-6，-8……因為這部分的零點是在是太平凡了，所以它們叫平凡零點。

實部a>1的零點：通過計算，黎曼發現當實部a>0的時候，函數壓根就沒有零點，也就是說，在這里不存在零點。

實部0<=a<=1的零點：小于0和大于1部分的零點都容易解決，這部分處在臨界地區的零點是最復雜的，也是被研究的最多的，這部分的零點因為非常的復雜，非常的不平凡，所以被稱為不平凡零點。跟黎曼猜想息息相關的，正是這些不平凡零點。

黎曼猜想

黎曼在研究這些非平凡零點的時候，發現他求解的非平凡零點的實部a都等于1/2，但是他無法給出證明，無法從數學上推導出黎曼Zeta函數的非平凡零點的實部都等于1/2。

于是，黎曼就給出了鼎鼎大名的黎曼猜想：黎曼Zeta函數的非平凡零點的實部都等于1/2。

如果黎曼猜想是正確的，那么以后黎曼Zeta函數的非平凡零點就可以都寫成s=1/2+bi的形式。

據說我們已經用計算機已經驗證了10萬億個非平凡零點，發現它的實部都等于1/2，但是10萬億不等于所有，在無窮面前依然是滄海一粟。

當然，因為黎曼猜想非常的好用，所以，很多數學家也等不到黎曼猜想被證明（他們相信黎曼猜想應該是對的，只是現在還無法證明而已），他們就直接假設黎曼猜想是對的，然后繼續進行他們的工作。據說，目前已經有一千多個命題是基于黎曼假設正確提出來的，也就是說，如果黎曼猜想最終被確切證明是正確的，那么這一千多個命題就會榮升為定理，如果黎曼猜想不幸是錯誤的，那么一千多個命題就會集體陪葬。

一條猜想關系著如此多命題的命運，這在數學史上都是前無古人的。

不平凡零點和質數

我們在上面已經說過，零點的意義是很重要的。在黎曼猜想之后，黎曼就開始研究它們和質數之間的關系，因為我們研究Zeta函數，研究不平凡零點，最終都是為了研究質數的規律。

高斯之前定義了一個質數的計數函數π(x)，黎曼把這個質數的計數函數自己包裝了一層，提出了一個黎曼質數計數函數J(x)，其中：

然后，黎曼給出了質數計數函數的準確形式，并發現它跟非平凡零點有非常大的關系。這樣，非平凡零點的意義一下子就凸顯出來了。同樣的，我貼出來的這些公式，不理解也無所謂，反正就是只要知道黎曼質數計數函數跟非平凡零點之間有種關系就行了，觀其大意，抓住要點，不求甚解。

再回憶一下，質數計數函數是什么意思？它表達的是小于這個數的范圍內有多少個質數，這其實就是在研究質數的分布規律，這對于質數的研究是非常重要的，我們的質數到底是隨機分布的，還是有什么特殊的規律呢？

不平凡零點的意義

不平凡零點雖然是黎曼用Zeta函數來研究質數的時候蹦出來的東西，但是這東西一旦出來了就不再受控了。

比如，物理學家居然發現這個不平凡零點的分布跟多粒子系統相互作用下能級的分布有這某種驚人的相似性。

這些零點的分布到底有什么規律？這些零點到底有什么意義？它是不是無意中泄露了某種新的天機？我們可能只是通過質數的研究無意中把它炸了出來，但是它的真實能量可能遠遠不止如此。

也正因為這些不平凡的零點慢慢變得如此不平凡，黎曼猜想就變得愈發的重要，畢竟，對于這些不平凡零點來說，它們是實部是不是永遠等于1/2，這可是個大事。

結語

不知不覺，文章快6000字了。

黎曼在1859年提出了黎曼猜想，這問題在159年之后依然懸而未決，可見問題難度之大。因此，要把這個問題跟不太懂高等數學的人講清楚是非常困難的，尤其長尾科技是打算讓初中生甚至小學生也能看懂黎曼猜想（如此偉大美妙的思想，憑什么不讓初中生小學生了解？），因為小學初中時期是學生思想最純的時候，那個時候的學生是發自內心的想當科學家。如果我的文章能夠讓初中生小學生對黎曼猜想，對數學產生興趣并自發的研究數學，那長尾科技寫文章的目的就達到了。

長尾科技寫相對論文章的目的也是如此。長尾就是要把物理、數學、計算機里一些最難以理解，最前沿的科學思想用初中生甚至小學生都能看懂的語言寫出來，而且是把他們的原理前前后后都寫清楚，而不是簡單的介紹一下他們。長尾科技自己沒有真的弄懂的東西，絕不輕易下筆，寧可不寫，也不要誤導別人，也因此，長尾科技的公眾號里只有自己原創的文章。

相對論、量子力學、黑洞、超弦、無窮、哥德爾定理、貝爾不等式、人工智能、深度學習，這些超酷的字眼我不能只讓科學家們才理解它們啊。我相信科學本身就是非常美的，只要我把科學的美自然的展現出來，別人不需要外力就能自動的愛上它，這也是科普的意義~