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最近一個月發生好多事情。原有的合作關系的結束，新的合作關系的開始。創業變化就是快。期間，我也自己問自己，自己該何去何從？彷徨，猶豫，對未知的未來，我也不確定。但是，內心有種強烈的感覺，告訴自己，有想法，就去干，保持好奇。也許，內心深處，總有一絲僥幸，萬一能走出一條路呢。也許，真的就成了呢？
libsnark源代碼，建議想深入零知識證明的小伙伴都讀一讀。Bellman庫主要圍繞Groth16算法，libsnark給出了SNARK相關算法的全貌，各種Relation，Language，Proof System。為了更好的生成R1CS電路，libsnark抽象出protoboard和gadget，方便開發者快速搭建電路。
本文中使用的libsnark源代碼的最后一個commit如下：
commit 477c9dfd07b280e42369f82f89c08416319e24ae
Author： Madars Virza 《madars@mit.edu》
Date： Tue Jun 18 18:43:12 2019 -0400
Document that we also implement the Groth16 proof system.
1. 源代碼目錄
源代碼在libsnark目錄下：
common - 定義和實現了一些通用的數據結構，例如默克爾樹，稀疏向量等等。
relations - relation描述了“約束”關系。除了我們通常說的R1CS外，還有很多其他約束的描述語言。
reductions - 各種不同描述語言之間的轉化。
knowledge_commit - 在multiexp的基礎上，引入pair的概念，兩個基點一個系數，計算結果稱為一個pair。
zk_proof_systems - 零知識證明中的各種證明系統（包括Groth16，GM17等等）。
gadgetlib1/gadgetlib2 - 為了更方便的構建R1CS，libsnark抽象出一層gadget。已有的gadget，可以方便地整合搭建出新的電路。
2. Relation
需要零知識證明的問題都是NP問題。NP問題中有一類問題NPC（NP-complete）問題。所有的NP問題都可以轉化為一個NPC問題。只要有一個NPC問題能多項式時間內解決，所有的NP問題都能多項式時間內解決。描述一個NPC問題，有多種方式。描述NPC問題的方式，稱為“language”。Relation指的是一個NPC問題和該問題的解的關系。
libsnark庫總結了幾種描述語言：
·constraint satisfaction problem類
R1CS - Rank-1 Constraint System
USCS - Unitary-Square Constraint System
·circuit satisfaction problem類
BACS - Bilinear Arithmetic Circuit Satisfiability
TBCS - Two-input Boolean Circuit Satisfiability
·ram computation類
RAM是Random Access Machine的縮寫。libsnark總結了兩種RAM計算框架：
tinyRAM
fooRAM
· arithmetic program類
QAP - Quadratic Arithmetic Program（GGPR13）
SAP - Square Arithmetic Program（GM17）
SSP - Square Span Program （DFGK14）
先介紹實現各種語言中需要的“variable” （variable.hpp/variable.tcc），再詳細介紹R1CS以及QAP語言。
2.1 variable
template《typename FieldT》
class variable {
public：
var_index_t index;
。..
};
varible的定義非常簡單，描述一個variable，只需要記錄一個varible對應的標號就行了。比如對應編號為index的variable，表示的是x_{index}變量。
2.2 linear_term
linear_term描述了一個線性組合中的一項。線性組合中的一項由變量以及對應的系數組成：
template《typename FieldT》
class linear_term {
public：
var_index_t index;
FieldT coeff;
。..
};
2.3 linear_combination
linear_combination描述了一個完整的線性組合。一個linear combination由多個linear term組成：
template《typename FieldT》
class linear_combination {
public：
std：：vector《linear_term《FieldT》 》 terms;
。..
};
2.4 R1CS
R1CS定義在constraint_satisfaction_problems/r1cs/r1cs.hpp。R1CS約束就是滿足以下形式的一個表達式：
《 A ， X 》 * 《 B ， X 》 = 《 C ， X 》
X是所有變量組合的向量，A/B/C是和X等長的向量。《，》代表的是點乘。一個R1CS系統由多個R1CS約束組成。
R1CS約束定義為：
template《typename FieldT》
class r1cs_constraint {
public：
linear_combination《FieldT》 a， b， c;
。..
};
一個R1CS約束，可以由a/b/c三個linear_combination表示。 一個R1CS系統中的所有變量的賦值，又分成兩部分：primary input和auxiliary input。primary就是“statement”， auxiliary就是“witness”。
template《typename FieldT》
using r1cs_primary_input = std：：vector《FieldT》;
template《typename FieldT》
using r1cs_auxiliary_input = std：：vector《FieldT》;
一個R1CS系統，包括多個R1CS約束。當然，每個約束的向量的長度是固定的（primary input size + auxiliary input size + 1）。
template《typename FieldT》
class r1cs_constraint_system {
public：
size_t primary_input_size;
size_t auxiliary_input_size;
std：：vector《r1cs_constraint《FieldT》 》 constraints;
。..
}
2.5 QAP
QAP定義在arithmetic_programs/qap/qap.hpp。libsnark采用的QAP的公式是：A*B-C=H*Z。
template《typename FieldT》
class qap_instance {
private：
size_t num_variables_;
size_t degree_;
size_t num_inputs_;
public：
std：：shared_ptr《libfqfft：：evaluation_domain《FieldT》 》 domain;
std：：vector《std：：map《size_t， FieldT》 》 A_in_Lagrange_basis;
std：：vector《std：：map《size_t， FieldT》 》 B_in_Lagrange_basis;
std：：vector《std：：map《size_t， FieldT》 》 C_in_Lagrange_basis;
}
num_variables_表示QAP電路的變量的個數。num_inputs_表示QAP電路的“statement”對應變量的個數。degree_表示A/B/C中每個多項式的階的個數（和電路的門的個數相關）。
domain是計算傅立葉變換/反傅立葉變換的引擎，由libfqfft庫實現。
何為Lagrange basis？
給定一系列的x和y的對應關系，通過拉格朗日插值的方式，可以確定多項式： p（x） = y_0l_0（x） + y_1l_1（x） + 。.. + y_nl_n（x） 其中l_0（x）， l_1（x）， 。.. l_n（x）就稱為拉格朗日basis。
A_in_Lagrange_basis/B_in_Lagrange_basis/C_in_Lagrange_basis把一個電路中每個變量不同門的值整理在一起。舉個例子，如下是x^3+x+5的電路對應的R1CS的約束：
該電路對應的A_in_Lagrange_basis/B_in_Lagrange_basis/C_in_Lagrange_basis為：
qap_instance描述的是一個QAP電路，A/B/C對應的多項式表達式（雖然是用Lagrange basis表示）。A/B/C多項式在一個點上的結果，用qap_instance_evaluation表示：
template《typename FieldT》
class qap_instance_evaluation {
private：
size_t num_variables_;
size_t degree_;
size_t num_inputs_;
public：
std：：shared_ptr《libfqfft：：evaluation_domain《FieldT》 》 domain;
FieldT t;
std：：vector《FieldT》 At， Bt， Ct， Ht;
FieldT Zt;
。..
}
qap_instance_evaluation，記錄了在t點上，A/B/C/H以及Z對應的值。
一個QAP電路，對應的primary/auxiliary，稱為witness，定義為：
template《typename FieldT》
class qap_witness {
private：
size_t num_variables_;
size_t degree_;
size_t num_inputs_;
public：
FieldT d1， d2， d3;
std：：vector《FieldT》 coefficients_for_ABCs;
std：：vector《FieldT》 coefficients_for_H;
。..
}
coefficients_for_ABCs就是witness。為了計算的方便，同時給出了對應的H多項式的系數。 在給定一個qap_instance_evaluation和一個qap_witness的前提下，可以通過is_satisfied函數確定，是否witness合理：
template《typename FieldT》
bool qap_instance_evaluation《FieldT》：：is_satisfied（const qap_witness《FieldT》 &witness） const
{
。..
ans_A = ans_A + libff：：inner_product《FieldT》（this-》At.begin（）+1，
this-》At.begin（）+1+this-》num_variables（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（）+this-》num_variables（））;
ans_B = ans_B + libff：：inner_product《FieldT》（this-》Bt.begin（）+1，
this-》Bt.begin（）+1+this-》num_variables（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（）+this-》num_variables（））;
ans_C = ans_C + libff：：inner_product《FieldT》（this-》Ct.begin（）+1，
this-》Ct.begin（）+1+this-》num_variables（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（），witness.coefficients_for_ABCs.begin（）+this-》num_variables（））;
ans_H = ans_H + libff：：inner_product《FieldT》（this-》Ht.begin（），
this-》Ht.begin（）+this-》degree（）+1，
witness.coefficients_for_H.begin（），
witness.coefficients_for_H.begin（）+this-》degree（）+1）;
if （ans_A * ans_B - ans_C ！= ans_H * this-》Zt）
{
return false;
}
。..
}
檢查一個witness是否正確，就是計算wA*wB-w*C = HZ是否相等。
3.Reduction
Reduction實現了不同描述語言之間的轉化。libsnark給出了如下一系列的轉化實現：
bacs -》 r1cs
r1cs -》 qap
r1cs -》 sap
ram -》 r1cs
tbcs -》 uscs
uscs -》 ssp
以r1cs-》qap為例，梳理一下Reduction的邏輯。從R1CS到QAP的轉化邏輯在reductions/r1cs_to_qap/目錄中，定義了三個函數：
3.1 r1cs_to_qap_instance_map
r1cs_to_qap_instance_map函數實現了從一個R1CS實例到QAP instance的轉化。轉化過程比較簡單，就是將系數重新整理的過程（可以查看2.5中的QAP的描述）。
3.2 r1cs_to_qap_instance_map_with_evaluation
r1cs_to_qap_instance_map_with_evaluation函數實現了從一個R1CS實例到qap_instance_evaluation的轉化。給定t，計算A/B/C以及H/Z。
3.3 r1cs_to_qap_witness_map
r1cs_to_qap_witness_map函數實現了從一個R1CS實例到qap_witness的轉化。
template《typename FieldT》
qap_witness《FieldT》 r1cs_to_qap_witness_map（const r1cs_constraint_system《FieldT》 &cs，
const r1cs_primary_input《FieldT》 &primary_input，
const r1cs_auxiliary_input《FieldT》 &auxiliary_input，
const FieldT &d1，
const FieldT &d2，
const FieldT &d3）
在給定primary/auxiliary input的基礎上，計算出witness（A/B/C以及H的系數）。d1/d2/d3在計算H系數提供擴展能力。Groth16計算的時候，d1/d2/d3取值都為0。 給定primary/auxiliary input，A/B/C的系數比較簡單，就是primary/auxiliary input的簡單拼接后的結果。
r1cs_variable_assignment《FieldT》 full_variable_assignment = primary_input;
full_variable_assignment.insert（full_variable_assignment.end（）， auxiliary_input.begin（）， auxiliary_input.end（））;
H多項式系數的計算相對復雜一些，涉及到傅立葉變換/反傅立葉變換。H多項式的計算公式計算如下： H（z） ：= （A（z）*B（z）-C（z））/Z（z）
其中，A（z） ：= A_0（z） + w_1 A_1（z） + 。.. + w_m A_m（z） + d1 * Z（z），B（z） ：= B_0（z） + w_1 B_1（z） + 。.. + w_m B_m（z） + d2 * Z（z），C（z） ：= C_0（z） + w_1 C_1（z） + 。.. + w_m C_m（z） + d3 * Z（z）， Z（z） = （z-sigma_1）（z-sigma_2）。..（z-sigma_n）（m是QAP電路中變量的個數，n是QAP電路門的個數）。特別強調的是，A（z）/B（z）/C（z） 是多個多項式的和，并不是每個變量對應的多項式。
1/ 確定A和B的多項式（通過反傅立葉變換）
for （size_t i = 0; i 《 cs.num_constraints（）; ++i）
{
aA［i］ += cs.constraints［i］.a.evaluate（full_variable_assignment）;
aB［i］ += cs.constraints［i］.b.evaluate（full_variable_assignment）;
}
domain-》iFFT（aA）;
domain-》iFFT（aB）;
2/ 計算A和B，對應FieldT：：multiplicative_generator的計算結果
domain-》cosetFFT（aA， FieldT：：multiplicative_generator）;
domain-》cosetFFT（aB， FieldT：：multiplicative_generator）;
3/ 確定C的多項式（通過反傅立葉變換）
for （size_t i = 0; i 《 cs.num_constraints（）; ++i）
{
aC［i］ += cs.constraints［i］.c.evaluate（full_variable_assignment）;
}
domain-》iFFT（aC）;
4/ 計算C，對應FieldT：：multiplicative_generator的計算結果
domain-》cosetFFT（aC， FieldT：：multiplicative_generator）;
5/ 計算H，對應FieldT：：multiplicative_generator的計算結果
for （size_t i = 0; i 《 domain-》m; ++i）
{
H_tmp［i］ = aA［i］*aB［i］;
}
for （size_t i = 0; i 《 domain-》m; ++i）
{
H_tmp［i］ = （H_tmp［i］-aC［i］）;
}
domain-》divide_by_Z_on_coset（H_tmp）;
6/ 計算H多項式的系數（反傅立葉變換）
domain-》icosetFFT（H_tmp， FieldT：：multiplicative_generator）;
4. ZK Proof System
libsnark提供了四種證明系統：
·pcd （Proof-Carrying Data）
·ppzkadsnark （PreProcessing Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge Over Authenticated Data）
·ppzksnark （PreProcessing Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge）
·zksnark （Zero-Knowledge Succinct Non-interactive ARgument of Knowledge）
著名的Groth16算法，屬于ppzksnark。因為Groth16在證明之前，需要預處理生成CRS。ppzksnark證明系統又可以細分成好幾種：
其中：
r1cs_gg_ppzksnark，gg代表General Group，就是Groth16算法。
r1cs_se_ppzksnark，se代表Simulation Extractable，就是GM17算法。
r1cs_ppzksnark，就是PGHR13算法。
以Groth16算法（r1cs_gg_ppzksnark）為例，梳理一下相關的邏輯。Groth16算法的相關邏輯在zk_proof_systems/ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark目錄中。
4.1 r1cs_gg_ppzksnark_proving_key
r1cs_gg_ppzksnark_proving_key記錄了CRS中在prove過程需要的信息。
template《typename ppT》
class r1cs_gg_ppzksnark_proving_key {
public：
libff：：G1《ppT》 alpha_g1;
libff：：G1《ppT》 beta_g1;
libff：：G2《ppT》 beta_g2;
libff：：G1《ppT》 delta_g1;
libff：：G2《ppT》 delta_g2;
libff：：G1_vector《ppT》 A_query;
knowledge_commitment_vector《libff：：G2《ppT》， libff：：G1《ppT》 》 B_query;
libff：：G1_vector《ppT》 H_query;
libff：：G1_vector《ppT》 L_query;
r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system《ppT》 constraint_system;
。..
}
A_query是A（t）以G1生成元的multiexp的計算結果。
B_query是B（t）以G1/G2生成元的multiexp的計算結果。
H_query是如下的計算以G1位生成元的multiexp的計算結果：
H（t）*Z（t）/delta
L_query是如下的計算在G1位生成元的multiexp的計算結果：
（beta*A（t）+alpha*B（t）+C（t））/delta
也就是說，r1cs_gg_ppzksnark_proving_key給出了Groth16算法中CRS的如下信息（用藍色圈出）
r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system《ppT》定義在zk_proof_systems/ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark/r1cs_gg_ppzksnark_params.hpp文件中。
template《typename ppT》
using r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system = r1cs_constraint_system《libff：：Fr《ppT》 》;
也就是說，r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system就是r1cs_constraint_system。
4.2 r1cs_gg_ppzksnark_verification_key
r1cs_gg_ppzksnark_verification_key記錄了CRS中在verify過程需要的信息。
template《typename ppT》
class r1cs_gg_ppzksnark_verification_key {
public：
libff：：GT《ppT》 alpha_g1_beta_g2;
libff：：G2《ppT》 gamma_g2;
libff：：G2《ppT》 delta_g2;
accumulation_vector《libff：：G1《ppT》 》 gamma_ABC_g1;
。..
}
也就是說，r1cs_gg_ppzksnark_verification_key給出了Groth16算法中CRS的如下信息（用藍色圈出）
4.3 r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key
r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key和r1cs_gg_ppzksnark_verification_key類似。“processed“意味著verification key會做進一步處理，驗證的過程會更快。
template《typename ppT》
class r1cs_gg_ppzksnark_processed_verification_key {
public：
libff：：GT《ppT》 vk_alpha_g1_beta_g2;
libff：：G2_precomp《ppT》 vk_gamma_g2_precomp;
libff：：G2_precomp《ppT》 vk_delta_g2_precomp;
accumulation_vector《libff：：G1《ppT》 》 gamma_ABC_g1;
。..
}
4.4 r1cs_gg_ppzksnark_keypair
r1cs_gg_ppzksnark_keypair包括兩部分：r1cs_gg_ppzksnark_proving_key和r1cs_gg_ppzksnark_verification_key。
template《typename ppT》
class r1cs_gg_ppzksnark_keypair {
public：
r1cs_gg_ppzksnark_proving_key《ppT》 pk;
r1cs_gg_ppzksnark_verification_key《ppT》 vk;
。..
}
4.5 r1cs_gg_ppzksnark_proof
眾所周知，Groth16的算法的證明包括A/B/C三個結果。
template《typename ppT》
class r1cs_gg_ppzksnark_proof {
public：
libff：：G1《ppT》 g_A;
libff：：G2《ppT》 g_B;
libff：：G1《ppT》 g_C;
。..
}
4.6 r1cs_gg_ppzksnark_generator 給定一個r1cs_constraint_system的基礎上，r1cs_gg_ppzksnark_generator能生成r1cs_gg_ppzksnark_keypair，也就是生成CRS信息。
template《typename ppT》
r1cs_gg_ppzksnark_keypair《ppT》 r1cs_gg_ppzksnark_generator（const r1cs_gg_ppzksnark_constraint_system《ppT》 &cs）;
4.7 r1cs_gg_ppzksnark_prover
給定了proving key以及primary/auxiliary input，計算證明的A/B/C結果。
template《typename ppT》
r1cs_gg_ppzksnark_proof《ppT》 r1cs_gg_ppzksnark_prover（const r1cs_gg_ppzksnark_proving_key《ppT》 &pk，
const r1cs_gg_ppzksnark_primary_input《ppT》 &primary_input，
const r1cs_gg_ppzksnark_auxiliary_input《ppT》 &auxiliary_input）;
已知proving key的情況下，計算A/B/C的結果，相當簡單：
/* A = alpha + sum_i（a_i*A_i（t）） + r*delta */
libff：：G1《ppT》 g1_A = pk.alpha_g1 + evaluation_At + r * pk.delta_g1;
/* B = beta + sum_i（a_i*B_i（t）） + s*delta */
libff：：G1《ppT》 g1_B = pk.beta_g1 + evaluation_Bt.h + s * pk.delta_g1;
libff：：G2《ppT》 g2_B = pk.beta_g2 + evaluation_Bt.g + s * pk.delta_g2;
/* C = sum_i（a_i*（（beta*A_i（t） + alpha*B_i（t） + C_i（t）） + H（t）*Z（t））/delta） + A*s + r*b - r*s*delta */
libff：：G1《ppT》 g1_C = evaluation_Ht + evaluation_Lt + s * g1_A + r * g1_B - （r * s） * pk.delta_g1;
4.8 r1cs_gg_ppzksnark_verifier
總共提供了四種驗證函數，分成兩類：processed/non-processed 和 weak/strong IC。processed/non-processed是指驗證的key是否processed？weak/strong IC指的是，是否input consistency？Primary Input的大小和QAP的statement的大小相等，稱為strong IC。Primary Input的大小小于QAP的statement的大小，稱為weak IC。
以r1cs_gg_ppzksnark_verifier_strong_IC為例，在給定verification key/primary input的基礎上，可以驗證proof是否正確。
template《typename ppT》
bool r1cs_gg_ppzksnark_verifier_strong_IC（const r1cs_gg_ppzksnark_verification_key《ppT》 &vk
總的來說，Groth16的證明生成和驗證的邏輯如下圖：
可以看出，使用ZKSNARK（Groth16）證明，需要先創建一個r1cs_constraint_system。libsnark設計了Gadget的框架，方便搭建r1cs_constraint_system。
5. Gadget
libsnark提供了兩套Gadget庫：gadgetlib1和gadgetlib2。libsnark中很多示例是基于gadgetlib1搭建。gadgetlib1也提供了更豐富的gadget。本文也主要講解gadgetlib1的邏輯。gadgetlib1的相關代碼在libsnark/gadgetlib1目錄中。
5.1 protoboard
protoboard是r1cs_constraint_system之上的一層封裝。通過一個個的Gadget，向r1cs_constraint_system添加約束。為了讓不同的Gadget之間采用統一的Variable以及Lc，protoboard通過”next_free_var”以及“next_free_lc“維護所有Gadget創建的Variable以及Lc。
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